Integral de (2y^2+y)exp^(-2y) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $e^{- 2 y} \left(2 y^{2} + y\right) = 2 y^{2} e^{- 2 y} + y e^{- 2 y}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 y^{2} e^{- 2 y}\, dy = 2 \int y^{2} e^{- 2 y}\, dy$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(y \right)} = y^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(y \right)} = e^{- 2 y}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(y \right)} = 2 y$.

         Para buscar $v{\left(y \right)}$:

         1. que $u = - 2 y$.

            Luego que $du = - 2 dy$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 2 y}}{2}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(y \right)} = - y$ y que $\operatorname{dv}{\left(y \right)} = e^{- 2 y}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(y \right)} = -1$.

         Para buscar $v{\left(y \right)}$:

         1. que $u = - 2 y$.

            Luego que $du = - 2 dy$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 2 y}}{2}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{- 2 y}}{2}\, dy = \frac{\int e^{- 2 y}\, dy}{2}$

         1. que $u = - 2 y$.

            Luego que $du = - 2 dy$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 2 y}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{- 2 y}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- y^{2} e^{- 2 y} - y e^{- 2 y} - \frac{e^{- 2 y}}{2}$

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(y \right)} = y$ y que $\operatorname{dv}{\left(y \right)} = e^{- 2 y}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(y \right)} = 1$.

      Para buscar $v{\left(y \right)}$:

      1. que $u = - 2 y$.

         Luego que $du = - 2 dy$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{e^{- 2 y}}{2}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{e^{- 2 y}}{2}\right)\, dy = - \frac{\int e^{- 2 y}\, dy}{2}$

      1. que $u = - 2 y$.

         Luego que $du = - 2 dy$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{e^{- 2 y}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{- 2 y}}{4}$

   El resultado es: $- y^{2} e^{- 2 y} - \frac{3 y e^{- 2 y}}{2} - \frac{3 e^{- 2 y}}{4}$

3. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(4 y^{2} + 6 y + 3\right) e^{- 2 y}}{4}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(4 y^{2} + 6 y + 3\right) e^{- 2 y}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(4 y^{2} + 6 y + 3\right) e^{- 2 y}}{4}+ \mathrm{constant}$