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¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de 3x+4
Integral de 1/(x^2-a^2)
Integral de 1/(x²+9)
Integral de 1/(x²+4)
Expresiones idénticas
x^ dos (uno -x)cos(2pix)dx
x al cuadrado (1 menos x) coseno de (2 número pi x)dx
x en el grado dos (uno menos x) coseno de (2 número pi x)dx
x2(1-x)cos(2pix)dx
x21-xcos2pixdx
x²(1-x)cos(2pix)dx
x en el grado 2(1-x)cos(2pix)dx
x^21-xcos2pixdx
Expresiones semejantes
x^2(1+x)cos(2pix)dx
Expresiones con funciones
Coseno cos
cos(2x-(3,14/3))
cos(2*w*t)*dt
cos^2*4xdx
cos^24xdx
cos^2(4x)dx
dx
dx/(a-bx)
dx/(a+bx)^c
dx/(a+bsinx)
dx/
dx/(9x+7)

Resolución de integrales/ (1-x)/ x^2(1-x)cos(2pix)dx

Integral de x^2(1-x)cos(2pix)dx dx

Solución

Ha introducido [src]

 pi                          
 --                          
 2                           
  /                          
 |                           
 |   2                       
 |  x *(1 - x)*cos(2*pi*x) dx
 |                           
/                            
0

$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{2} \left(1 - x\right) \cos{\left(2 \pi x \right)}\, dx$$

Integral((x^2*(1 - x))*cos((2*pi)*x), (x, 0, pi/2))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = - x$ .
  
  Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$ :
  
  $\int \left(- u^{3} \cos{\left(2 \pi u \right)} - u^{2} \cos{\left(2 \pi u \right)}\right)\, du$
  1. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- u^{3} \cos{\left(2 u \pi \right)}\right)\, du = - \int u^{3} \cos{\left(2 u \pi \right)}\, du$
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = u^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(2 u \pi \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 3 u^{2}$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      que $u = 2 u \pi$ .
      
      Luego que $du = 2 \pi du$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 u \pi \right)}}{2 \pi}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = \frac{3 u^{2}}{2 \pi}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(2 u \pi \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{3 u}{\pi}$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      que $u = 2 u \pi$ .
      
      Luego que $du = 2 \pi du$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(2 u \pi \right)}}{2 \pi}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = - \frac{3 u}{2 \pi^{2}}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(2 u \pi \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - \frac{3}{2 \pi^{2}}$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      que $u = 2 u \pi$ .
      
      Luego que $du = 2 \pi du$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 u \pi \right)}}{2 \pi}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{3 \sin{\left(2 u \pi \right)}}{4 \pi^{3}}\right)\, du = - \frac{3 \int \sin{\left(2 u \pi \right)}\, du}{4 \pi^{3}}$
      
      que $u = 2 u \pi$ .
      
      Luego que $du = 2 \pi du$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(2 u \pi \right)}}{2 \pi}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \cos{\left(2 u \pi \right)}}{8 \pi^{4}}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3} \sin{\left(2 u \pi \right)}}{2 \pi} - \frac{3 u^{2} \cos{\left(2 u \pi \right)}}{4 \pi^{2}} + \frac{3 u \sin{\left(2 u \pi \right)}}{4 \pi^{3}} + \frac{3 \cos{\left(2 u \pi \right)}}{8 \pi^{4}}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- u^{2} \cos{\left(2 u \pi \right)}\right)\, du = - \int u^{2} \cos{\left(2 u \pi \right)}\, du$
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(2 u \pi \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      que $u = 2 u \pi$ .
      
      Luego que $du = 2 \pi du$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 u \pi \right)}}{2 \pi}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = \frac{u}{\pi}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(2 u \pi \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{\pi}$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      que $u = 2 u \pi$ .
      
      Luego que $du = 2 \pi du$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(2 u \pi \right)}}{2 \pi}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 u \pi \right)}}{2 \pi^{2}}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(2 u \pi \right)}\, du}{2 \pi^{2}}$
      
      que $u = 2 u \pi$ .
      
      Luego que $du = 2 \pi du$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 u \pi \right)}}{2 \pi}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 u \pi \right)}}{4 \pi^{3}}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2} \sin{\left(2 u \pi \right)}}{2 \pi} - \frac{u \cos{\left(2 u \pi \right)}}{2 \pi^{2}} + \frac{\sin{\left(2 u \pi \right)}}{4 \pi^{3}}$
    El resultado es: $- \frac{u^{3} \sin{\left(2 u \pi \right)}}{2 \pi} - \frac{u^{2} \sin{\left(2 u \pi \right)}}{2 \pi} - \frac{3 u^{2} \cos{\left(2 u \pi \right)}}{4 \pi^{2}} + \frac{3 u \sin{\left(2 u \pi \right)}}{4 \pi^{3}} - \frac{u \cos{\left(2 u \pi \right)}}{2 \pi^{2}} + \frac{\sin{\left(2 u \pi \right)}}{4 \pi^{3}} + \frac{3 \cos{\left(2 u \pi \right)}}{8 \pi^{4}}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- \frac{x^{3} \sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi} + \frac{x^{2} \sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi} - \frac{3 x^{2} \cos{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi^{2}} + \frac{3 x \sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi^{3}} + \frac{x \cos{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi^{2}} - \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi^{3}} + \frac{3 \cos{\left(2 \pi x \right)}}{8 \pi^{4}}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $x^{2} \left(1 - x\right) \cos{\left(2 \pi x \right)} = - x^{3} \cos{\left(2 \pi x \right)} + x^{2} \cos{\left(2 \pi x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- x^{3} \cos{\left(2 \pi x \right)}\right)\, dx = - \int x^{3} \cos{\left(2 \pi x \right)}\, dx$
    1. Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(x \right)} = x^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 \pi x \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}$ .
      
      Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
      
      que $u = 2 \pi x$ .
      
      Luego que $du = 2 \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
    2. Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(x \right)} = \frac{3 x^{2}}{2 \pi}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 \pi x \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{3 x}{\pi}$ .
      
      Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
      
      que $u = 2 \pi x$ .
      
      Luego que $du = 2 \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
    3. Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(x \right)} = - \frac{3 x}{2 \pi^{2}}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 \pi x \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{3}{2 \pi^{2}}$ .
      
      Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
      
      que $u = 2 \pi x$ .
      
      Luego que $du = 2 \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
    4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{3 \sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi^{3}}\right)\, dx = - \frac{3 \int \sin{\left(2 \pi x \right)}\, dx}{4 \pi^{3}}$
      
      que $u = 2 \pi x$ .
      
      Luego que $du = 2 \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \cos{\left(2 \pi x \right)}}{8 \pi^{4}}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3} \sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi} - \frac{3 x^{2} \cos{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi^{2}} + \frac{3 x \sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi^{3}} + \frac{3 \cos{\left(2 \pi x \right)}}{8 \pi^{4}}$
  1. Usamos la integración por partes:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 \pi x \right)}$ .
    
    Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$ .
    
    Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
    1. que $u = 2 \pi x$ .
      
      Luego que $du = 2 \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}$
    Ahora resolvemos podintegral.
  2. Usamos la integración por partes:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    que $u{\left(x \right)} = \frac{x}{\pi}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 \pi x \right)}$ .
    
    Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{\pi}$ .
    
    Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
    1. que $u = 2 \pi x$ .
      
      Luego que $du = 2 \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}$
    Ahora resolvemos podintegral.
  3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi^{2}}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 \pi x \right)}\, dx}{2 \pi^{2}}$
    1. que $u = 2 \pi x$ .
      
      Luego que $du = 2 \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi^{3}}$
  El resultado es: $- \frac{x^{3} \sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi} + \frac{x^{2} \sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi} - \frac{3 x^{2} \cos{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi^{2}} + \frac{3 x \sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi^{3}} + \frac{x \cos{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi^{2}} - \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi^{3}} + \frac{3 \cos{\left(2 \pi x \right)}}{8 \pi^{4}}$
Método #3
1. Usamos la integración por partes:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  que $u{\left(x \right)} = x^{2} \left(1 - x\right)$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 \pi x \right)}$ .
  
  Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - x^{2} + 2 x \left(1 - x\right)$ .
  
  Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
  1. que $u = 2 \pi x$ .
    
    Luego que $du = 2 \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$ :
    
    $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}$
  Ahora resolvemos podintegral.
2. Usamos la integración por partes:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  que $u{\left(x \right)} = - \frac{x \left(3 x - 2\right)}{2 \pi}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 \pi x \right)}$ .
  
  Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{3 x}{2 \pi} - \frac{3 x - 2}{2 \pi}$ .
  
  Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
  1. que $u = 2 \pi x$ .
    
    Luego que $du = 2 \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$ :
    
    $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}$
  Ahora resolvemos podintegral.
3. Usamos la integración por partes:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  que $u{\left(x \right)} = \frac{3 x - 1}{2 \pi^{2}}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 \pi x \right)}$ .
  
  Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{3}{2 \pi^{2}}$ .
  
  Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
  1. que $u = 2 \pi x$ .
    
    Luego que $du = 2 \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$ :
    
    $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}$
  Ahora resolvemos podintegral.
4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \frac{3 \sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi^{3}}\, dx = \frac{3 \int \sin{\left(2 \pi x \right)}\, dx}{4 \pi^{3}}$
  1. que $u = 2 \pi x$ .
    
    Luego que $du = 2 \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$ :
    
    $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}$
  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \cos{\left(2 \pi x \right)}}{8 \pi^{4}}$
Método #4
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $x^{2} \left(1 - x\right) \cos{\left(2 \pi x \right)} = - x^{3} \cos{\left(2 \pi x \right)} + x^{2} \cos{\left(2 \pi x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- x^{3} \cos{\left(2 \pi x \right)}\right)\, dx = - \int x^{3} \cos{\left(2 \pi x \right)}\, dx$
    1. Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(x \right)} = x^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 \pi x \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}$ .
      
      Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
      
      que $u = 2 \pi x$ .
      
      Luego que $du = 2 \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
    2. Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(x \right)} = \frac{3 x^{2}}{2 \pi}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 \pi x \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{3 x}{\pi}$ .
      
      Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
      
      que $u = 2 \pi x$ .
      
      Luego que $du = 2 \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
    3. Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(x \right)} = - \frac{3 x}{2 \pi^{2}}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 \pi x \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{3}{2 \pi^{2}}$ .
      
      Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
      
      que $u = 2 \pi x$ .
      
      Luego que $du = 2 \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
    4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{3 \sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi^{3}}\right)\, dx = - \frac{3 \int \sin{\left(2 \pi x \right)}\, dx}{4 \pi^{3}}$
      
      que $u = 2 \pi x$ .
      
      Luego que $du = 2 \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \cos{\left(2 \pi x \right)}}{8 \pi^{4}}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3} \sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi} - \frac{3 x^{2} \cos{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi^{2}} + \frac{3 x \sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi^{3}} + \frac{3 \cos{\left(2 \pi x \right)}}{8 \pi^{4}}$
  1. Usamos la integración por partes:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 \pi x \right)}$ .
    
    Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$ .
    
    Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
    1. que $u = 2 \pi x$ .
      
      Luego que $du = 2 \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}$
    Ahora resolvemos podintegral.
  2. Usamos la integración por partes:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    que $u{\left(x \right)} = \frac{x}{\pi}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 \pi x \right)}$ .
    
    Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{\pi}$ .
    
    Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
    1. que $u = 2 \pi x$ .
      
      Luego que $du = 2 \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}$
    Ahora resolvemos podintegral.
  3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi^{2}}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 \pi x \right)}\, dx}{2 \pi^{2}}$
    1. que $u = 2 \pi x$ .
      
      Luego que $du = 2 \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi^{3}}$
  El resultado es: $- \frac{x^{3} \sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi} + \frac{x^{2} \sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi} - \frac{3 x^{2} \cos{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi^{2}} + \frac{3 x \sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi^{3}} + \frac{x \cos{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi^{2}} - \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi^{3}} + \frac{3 \cos{\left(2 \pi x \right)}}{8 \pi^{4}}$
Ahora simplificar:

$\frac{4 \pi^{3} x^{2} \left(1 - x\right) \sin{\left(2 \pi x \right)} + 2 \pi^{2} x \left(2 - 3 x\right) \cos{\left(2 \pi x \right)} + 2 \pi \left(3 x - 1\right) \sin{\left(2 \pi x \right)} + 3 \cos{\left(2 \pi x \right)}}{8 \pi^{4}}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{4 \pi^{3} x^{2} \left(1 - x\right) \sin{\left(2 \pi x \right)} + 2 \pi^{2} x \left(2 - 3 x\right) \cos{\left(2 \pi x \right)} + 2 \pi \left(3 x - 1\right) \sin{\left(2 \pi x \right)} + 3 \cos{\left(2 \pi x \right)}}{8 \pi^{4}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 \pi^{3} x^{2} \left(1 - x\right) \sin{\left(2 \pi x \right)} + 2 \pi^{2} x \left(2 - 3 x\right) \cos{\left(2 \pi x \right)} + 2 \pi \left(3 x - 1\right) \sin{\left(2 \pi x \right)} + 3 \cos{\left(2 \pi x \right)}}{8 \pi^{4}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                                                                                                                  
 |                                                                                2                  2                3                              
 |  2                              sin(2*pi*x)   3*cos(2*pi*x)   x*cos(2*pi*x)   x *sin(2*pi*x)   3*x *cos(2*pi*x)   x *sin(2*pi*x)   3*x*sin(2*pi*x)
 | x *(1 - x)*cos(2*pi*x) dx = C - ----------- + ------------- + ------------- + -------------- - ---------------- - -------------- + ---------------
 |                                        3              4               2            2*pi                 2              2*pi                 3     
/                                     4*pi           8*pi            2*pi                              4*pi                                4*pi

$$\int x^{2} \left(1 - x\right) \cos{\left(2 \pi x \right)}\, dx = C - \frac{x^{3} \sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi} + \frac{x^{2} \sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi} - \frac{3 x^{2} \cos{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi^{2}} + \frac{3 x \sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi^{3}} + \frac{x \cos{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi^{2}} - \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi^{3}} + \frac{3 \cos{\left(2 \pi x \right)}}{8 \pi^{4}}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

               /  2\      /  2\     2    /  2\      /  2\         /  2\        /  2\        /  2\
    3     3*cos\pi /   sin\pi /   pi *sin\pi /   cos\pi /   pi*sin\pi /   3*cos\pi /   3*sin\pi /
- ----- - ---------- - -------- - ------------ + -------- + ----------- + ---------- + ----------
      4       16            3          16          4*pi          8              4            2   
  8*pi                  4*pi                                                8*pi         8*pi

$$\frac{\pi \sin{\left(\pi^{2} \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(\pi^{2} \right)}}{4 \pi} + \frac{3 \sin{\left(\pi^{2} \right)}}{8 \pi^{2}} - \frac{3}{8 \pi^{4}} + \frac{3 \cos{\left(\pi^{2} \right)}}{8 \pi^{4}} - \frac{\sin{\left(\pi^{2} \right)}}{4 \pi^{3}} - \frac{3 \cos{\left(\pi^{2} \right)}}{16} - \frac{\pi^{2} \sin{\left(\pi^{2} \right)}}{16}$$

               /  2\      /  2\     2    /  2\      /  2\         /  2\        /  2\        /  2\
    3     3*cos\pi /   sin\pi /   pi *sin\pi /   cos\pi /   pi*sin\pi /   3*cos\pi /   3*sin\pi /
- ----- - ---------- - -------- - ------------ + -------- + ----------- + ---------- + ----------
      4       16            3          16          4*pi          8              4            2   
  8*pi                  4*pi                                                8*pi         8*pi

-3/(8*pi^4) - 3*cos(pi^2)/16 - sin(pi^2)/(4*pi^3) - pi^2*sin(pi^2)/16 + cos(pi^2)/(4*pi) + pi*sin(pi^2)/8 + 3*cos(pi^2)/(8*pi^4) + 3*sin(pi^2)/(8*pi^2)

Respuesta numérica [src]

0.173667750539679

0.173667750539679

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de x^2(1-x)cos(2pix)dx dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3

Método #4