Integral de (1-cbrt(x))^2/raiz(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(3 u^{\frac{5}{2}} - 6 u^{\frac{3}{2}} + 3 \sqrt{u}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u^{\frac{5}{2}}\, du = 3 \int u^{\frac{5}{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{5}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6 u^{\frac{7}{2}}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 6 u^{\frac{3}{2}}\right)\, du = - 6 \int u^{\frac{3}{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{3}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{12 u^{\frac{5}{2}}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 \sqrt{u}\, du = 3 \int \sqrt{u}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 u^{\frac{3}{2}}$

         El resultado es: $\frac{6 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{12 u^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 u^{\frac{3}{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{6 x^{\frac{7}{6}}}{7} - \frac{12 x^{\frac{5}{6}}}{5} + 2 \sqrt{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(1 - \sqrt[3]{x}\right)^{2}}{\sqrt{x}} = \frac{x^{\frac{2}{3}} - 2 \sqrt[3]{x} + 1}{\sqrt{x}}$

   2. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{- 4 u^{\frac{4}{3}} + 2 u^{\frac{2}{3}} + 2 u^{2}}{u^{4}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{- 4 u^{\frac{4}{3}} + 2 u^{\frac{2}{3}} + 2 u^{2}}{u^{4}}\, du = - \int \frac{- 4 u^{\frac{4}{3}} + 2 u^{\frac{2}{3}} + 2 u^{2}}{u^{4}}\, du$

         1. que $u = u^{\frac{2}{3}}$.

            Luego que $du = \frac{2 du}{3 \sqrt[3]{u}}$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{3 u^{2} - 6 u + 3}{u^{\frac{9}{2}}}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{3 u^{2} - 6 u + 3}{u^{\frac{9}{2}}} = \frac{3}{u^{\frac{5}{2}}} - \frac{6}{u^{\frac{7}{2}}} + \frac{3}{u^{\frac{9}{2}}}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{3}{u^{\frac{5}{2}}}\, du = 3 \int \frac{1}{u^{\frac{5}{2}}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{\frac{5}{2}}}\, du = - \frac{2}{3 u^{\frac{3}{2}}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{u^{\frac{3}{2}}}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{6}{u^{\frac{7}{2}}}\right)\, du = - 6 \int \frac{1}{u^{\frac{7}{2}}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{\frac{7}{2}}}\, du = - \frac{2}{5 u^{\frac{5}{2}}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12}{5 u^{\frac{5}{2}}}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{3}{u^{\frac{9}{2}}}\, du = 3 \int \frac{1}{u^{\frac{9}{2}}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{\frac{9}{2}}}\, du = - \frac{2}{7 u^{\frac{7}{2}}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6}{7 u^{\frac{7}{2}}}$

               El resultado es: $- \frac{2}{u^{\frac{3}{2}}} + \frac{12}{5 u^{\frac{5}{2}}} - \frac{6}{7 u^{\frac{7}{2}}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{2}{u} + \frac{12}{5 u^{\frac{5}{3}}} - \frac{6}{7 u^{\frac{7}{3}}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{u} - \frac{12}{5 u^{\frac{5}{3}}} + \frac{6}{7 u^{\frac{7}{3}}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{6 x^{\frac{7}{6}}}{7} - \frac{12 x^{\frac{5}{6}}}{5} + 2 \sqrt{x}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(1 - \sqrt[3]{x}\right)^{2}}{\sqrt{x}} = \sqrt[6]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[6]{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \sqrt[6]{x}\, dx = \frac{6 x^{\frac{7}{6}}}{7}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2}{\sqrt[6]{x}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{\sqrt[6]{x}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt[6]{x}}\, dx = \frac{6 x^{\frac{5}{6}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{12 x^{\frac{5}{6}}}{5}$

      El resultado es: $\frac{6 x^{\frac{7}{6}}}{7} - \frac{12 x^{\frac{5}{6}}}{5} + 2 \sqrt{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{6 x^{\frac{7}{6}}}{7} - \frac{12 x^{\frac{5}{6}}}{5} + 2 \sqrt{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{6 x^{\frac{7}{6}}}{7} - \frac{12 x^{\frac{5}{6}}}{5} + 2 \sqrt{x}+ \mathrm{constant}$