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Resolución de integrales/ sin(pi*x/a)^6

Integral de sin(pi*x/a)^6 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  a              
  /              
 |               
 |     6/pi*x\   
 |  sin |----| dx
 |      \ a  /   
 |               
/                
0
$$\int\limits_{0}^{a} \sin^{6}{\left(\frac{\pi x}{a} \right)}\, dx$$ 
Integral(sin((pi*x)/a)^6, (x, 0, a))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        1. Vuelva a escribir el integrando:

        2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que .

            Luego que y ponemos :

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              1. Integramos término a término:

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  1. Integral es when :

                  Por lo tanto, el resultado es:

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                El resultado es:

              Por lo tanto, el resultado es:

            Si ahora sustituir más en:

          Método #2

          1. Vuelva a escribir el integrando:

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              1. que .

                Luego que y ponemos :

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  1. Integral es when :

                  Por lo tanto, el resultado es:

                Si ahora sustituir más en:

              Por lo tanto, el resultado es:

            1. que .

              Luego que y ponemos :

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                1. La integral del coseno es seno:

                Por lo tanto, el resultado es:

              Si ahora sustituir más en:

            El resultado es:

          Método #3

          1. Vuelva a escribir el integrando:

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              1. que .

                Luego que y ponemos :

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  1. Integral es when :

                  Por lo tanto, el resultado es:

                Si ahora sustituir más en:

              Por lo tanto, el resultado es:

            1. que .

              Luego que y ponemos :

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                1. La integral del coseno es seno:

                Por lo tanto, el resultado es:

              Si ahora sustituir más en:

            El resultado es:

        Por lo tanto, el resultado es:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        1. Vuelva a escribir el integrando:

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            1. que .

              Luego que y ponemos :

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                1. La integral del coseno es seno:

                Por lo tanto, el resultado es:

              Si ahora sustituir más en:

            Por lo tanto, el resultado es:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          El resultado es:

        Por lo tanto, el resultado es:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        1. que .

          Luego que y ponemos :

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            1. La integral del coseno es seno:

            Por lo tanto, el resultado es:

          Si ahora sustituir más en:

        Por lo tanto, el resultado es:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      El resultado es:

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        1. Vuelva a escribir el integrando:

        2. que .

          Luego que y ponemos :

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            1. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                1. Integral es when :

                Por lo tanto, el resultado es:

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              El resultado es:

            Por lo tanto, el resultado es:

          Si ahora sustituir más en:

        Por lo tanto, el resultado es:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        1. Vuelva a escribir el integrando:

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            1. que .

              Luego que y ponemos :

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                1. La integral del coseno es seno:

                Por lo tanto, el resultado es:

              Si ahora sustituir más en:

            Por lo tanto, el resultado es:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          El resultado es:

        Por lo tanto, el resultado es:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        1. que .

          Luego que y ponemos :

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            1. La integral del coseno es seno:

            Por lo tanto, el resultado es:

          Si ahora sustituir más en:

        Por lo tanto, el resultado es:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      El resultado es:

  3. Ahora simplificar:

  4. Añadimos la constante de integración:

Respuesta:

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                                    3/2*pi*x\                                    
                                               a*sin |------|                                    
  /                                 /2*pi*x\         \  a   /          /2*pi*x\          /4*pi*x\
 |                           - a*sin|------| + --------------   3*a*sin|------|   3*a*sin|------|
 |    6/pi*x\          5*x          \  a   /         3                 \  a   /          \  a   /
 | sin |----| dx = C + --- + -------------------------------- - --------------- + ---------------
 |     \ a  /           16                16*pi                      16*pi             64*pi     
 |                                                                                               
/
$$\int \sin^{6}{\left(\frac{\pi x}{a} \right)}\, dx = C - \frac{3 a \sin{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{16 \pi} + \frac{3 a \sin{\left(\frac{4 \pi x}{a} \right)}}{64 \pi} + \frac{5 x}{16} + \frac{\frac{a \sin^{3}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{3} - a \sin{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{16 \pi}$$
Simplificar
Respuesta [src] 
/5*a                                  
|---  for And(a > -oo, a < oo, a != 0)
< 16                                  
|                                     
\ 0              otherwise
$$\begin{cases} \frac{5 a}{16} & \text{for}\: a > -\infty \wedge a < \infty \wedge a \neq 0 \\0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ 
=
= 
/5*a                                  
|---  for And(a > -oo, a < oo, a != 0)
< 16                                  
|                                     
\ 0              otherwise
$$\begin{cases} \frac{5 a}{16} & \text{for}\: a > -\infty \wedge a < \infty \wedge a \neq 0 \\0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ 
Piecewise((5*a/16, (a > -oo)∧(a < oo)∧(Ne(a, 0))), (0, True))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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