Integral de (cos(lnx))d(x) dx

1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $d du$:

   $\int d e^{2 u} \cos{\left(u \right)}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int e^{2 u} \cos{\left(u \right)}\, du = d \int e^{2 u} \cos{\left(u \right)}\, du$

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

         1. Para el integrando $e^{2 u} \cos{\left(u \right)}$:

            que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

            Entonces $\int e^{2 u} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{2 u} \cos{\left(u \right)}}{2} - \int \left(- \frac{e^{2 u} \sin{\left(u \right)}}{2}\right)\, du$.

         2. Para el integrando $- \frac{e^{2 u} \sin{\left(u \right)}}{2}$:

            que $u{\left(u \right)} = - \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

            Entonces $\int e^{2 u} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{2 u} \sin{\left(u \right)}}{4} + \frac{e^{2 u} \cos{\left(u \right)}}{2} + \int \left(- \frac{e^{2 u} \cos{\left(u \right)}}{4}\right)\, du$.

         3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

            $\frac{5 \int e^{2 u} \cos{\left(u \right)}\, du}{4} = \frac{e^{2 u} \sin{\left(u \right)}}{4} + \frac{e^{2 u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

            Por lo tanto,

            $\int e^{2 u} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{2 u} \sin{\left(u \right)}}{5} + \frac{2 e^{2 u} \cos{\left(u \right)}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $d \left(\frac{e^{2 u} \sin{\left(u \right)}}{5} + \frac{2 e^{2 u} \cos{\left(u \right)}}{5}\right)$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $d \left(\frac{x^{2} \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{5} + \frac{2 x^{2} \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{5}\right)$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{d x^{2} \left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2 \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right)}{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{d x^{2} \left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2 \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right)}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{d x^{2} \left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2 \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right)}{5}+ \mathrm{constant}$