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Resolución de integrales/ 3*x+1/ (3*x+1)*ctg((pi*x)/2)

Integral de (3*x+1)*ctg((pi*x)/2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                       
  /                       
 |                        
 |               /pi*x\   
 |  (3*x + 1)*cot|----| dx
 |               \ 2  /   
 |                        
/                         
0
∫01(3x+1)cot⁡(πx2) dx\int\limits_{0}^{1} \left(3 x + 1\right) \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\, dx 
Integral((3*x + 1)*cot((pi*x)/2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3x+1)cot⁡(πx2)=3xcot⁡(πx2)+cot⁡(πx2)\left(3 x + 1\right) \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = 3 x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xcot⁡(πx2) dx=3∫xcot⁡(πx2) dx\int 3 x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\, dx = 3 \int x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          ∫xcot⁡(πx2) dx\int x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\, dx

        Por lo tanto, el resultado es: 3∫xcot⁡(πx2) dx3 \int x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cot⁡(πx2)=cos⁡(πx2)sin⁡(πx2)\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}

      2. que u=sin⁡(πx2)u = \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}.

        Luego que du=πcos⁡(πx2)dx2du = \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} dx}{2} y ponemos 2duπ\frac{2 du}{\pi}:

        ∫2πu du\int \frac{2}{\pi u}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=2∫1u duπ\int \frac{1}{u}\, du = \frac{2 \int \frac{1}{u}\, du}{\pi}

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(u)π\frac{2 \log{\left(u \right)}}{\pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2log⁡(sin⁡(πx2))π\frac{2 \log{\left(\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}{\pi}

      El resultado es: 2log⁡(sin⁡(πx2))π+3∫xcot⁡(πx2) dx\frac{2 \log{\left(\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}{\pi} + 3 \int x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\, dx

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3x+1)cot⁡(πx2)=3xcot⁡(πx2)+cot⁡(πx2)\left(3 x + 1\right) \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = 3 x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xcot⁡(πx2) dx=3∫xcot⁡(πx2) dx\int 3 x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\, dx = 3 \int x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          ∫xcot⁡(πx2) dx\int x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\, dx

        Por lo tanto, el resultado es: 3∫xcot⁡(πx2) dx3 \int x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cot⁡(πx2)=cos⁡(πx2)sin⁡(πx2)\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}

      2. que u=sin⁡(πx2)u = \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}.

        Luego que du=πcos⁡(πx2)dx2du = \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} dx}{2} y ponemos 2duπ\frac{2 du}{\pi}:

        ∫2πu du\int \frac{2}{\pi u}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=2∫1u duπ\int \frac{1}{u}\, du = \frac{2 \int \frac{1}{u}\, du}{\pi}

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(u)π\frac{2 \log{\left(u \right)}}{\pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2log⁡(sin⁡(πx2))π\frac{2 \log{\left(\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}{\pi}

      El resultado es: 2log⁡(sin⁡(πx2))π+3∫xcot⁡(πx2) dx\frac{2 \log{\left(\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}{\pi} + 3 \int x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\, dx

  2. Añadimos la constante de integración:

    2log⁡(sin⁡(πx2))π+3∫xcot⁡(πx2) dx+constant\frac{2 \log{\left(\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}{\pi} + 3 \int x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2log⁡(sin⁡(πx2))π+3∫xcot⁡(πx2) dx+constant\frac{2 \log{\left(\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}{\pi} + 3 \int x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                 /                      /   /pi*x\\
 |                                 |                  2*log|sin|----||
 |              /pi*x\             |      /pi*x\           \   \ 2  //
 | (3*x + 1)*cot|----| dx = C + 3* | x*cot|----| dx + ----------------
 |              \ 2  /             |      \ 2  /             pi       
 |                                 |                                  
/                                 /
∫(3x+1)cot⁡(πx2) dx=C+2log⁡(sin⁡(πx2))π+3∫xcot⁡(πx2) dx\int \left(3 x + 1\right) \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\, dx = C + \frac{2 \log{\left(\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}{\pi} + 3 \int x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\, dx
Simplificar
Respuesta [src] 
  1                       
  /                       
 |                        
 |               /pi*x\   
 |  (1 + 3*x)*cot|----| dx
 |               \ 2  /   
 |                        
/                         
0
∫01(3x+1)cot⁡(πx2) dx\int\limits_{0}^{1} \left(3 x + 1\right) \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\, dx 
=
= 
  1                       
  /                       
 |                        
 |               /pi*x\   
 |  (1 + 3*x)*cot|----| dx
 |               \ 2  /   
 |                        
/                         
0
∫01(3x+1)cot⁡(πx2) dx\int\limits_{0}^{1} \left(3 x + 1\right) \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\, dx 
Integral((1 + 3*x)*cot(pi*x/2), (x, 0, 1))
Respuesta numérica [src] 
29.1051769032771
29.1051769032771

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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