Integral de log(tanx/2) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{2} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2 \left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)}{\tan{\left(x \right)}}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{2 x \left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)}{\tan{\left(x \right)}}\, dx = 2 \int \frac{x \left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)}{\tan{\left(x \right)}}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x \left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)}{\tan{\left(x \right)}} = \frac{x \tan^{2}{\left(x \right)} + x}{2 \tan{\left(x \right)}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x \tan^{2}{\left(x \right)} + x}{2 \tan{\left(x \right)}}\, dx = \frac{\int \frac{x \tan^{2}{\left(x \right)} + x}{\tan{\left(x \right)}}\, dx}{2}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x \tan^{2}{\left(x \right)} + x}{\tan{\left(x \right)}} = x \tan{\left(x \right)} + \frac{x}{\tan{\left(x \right)}}$

         2. Integramos término a término:

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

               Pero la integral

               $\int x \tan{\left(x \right)}\, dx$

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

               Pero la integral

               $\int \frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\, dx$

            El resultado es: $\int \frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\, dx + \int x \tan{\left(x \right)}\, dx$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\int \frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\, dx}{2} + \frac{\int x \tan{\left(x \right)}\, dx}{2}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x \left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)}{\tan{\left(x \right)}} = \frac{x \tan{\left(x \right)}}{2} + \frac{x}{2 \tan{\left(x \right)}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x \tan{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int x \tan{\left(x \right)}\, dx}{2}$

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

               Pero la integral

               $\int x \tan{\left(x \right)}\, dx$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\int x \tan{\left(x \right)}\, dx}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x}{2 \tan{\left(x \right)}}\, dx = \frac{\int \frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\, dx}{2}$

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

               Pero la integral

               $\int \frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\, dx$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\int \frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\, dx}{2}$

         El resultado es: $\frac{\int \frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\, dx}{2} + \frac{\int x \tan{\left(x \right)}\, dx}{2}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\int \frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\, dx + \int x \tan{\left(x \right)}\, dx$

3. Ahora simplificar:

   $x \log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{2} \right)} - \int \frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\, dx - \int x \tan{\left(x \right)}\, dx$

4. Añadimos la constante de integración:

   $x \log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{2} \right)} - \int \frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\, dx - \int x \tan{\left(x \right)}\, dx+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{2} \right)} - \int \frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\, dx - \int x \tan{\left(x \right)}\, dx+ \mathrm{constant}$