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Resolución de integrales/ sin^2/ sin^2(2x)cosx

Integral de sin^2(2x)cosx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                    
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 |  sin (2*x)*cos(x) dx
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0
∫01sin⁡2(2x)cos⁡(x) dx\int\limits_{0}^{1} \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx 
Integral(sin(2*x)^2*cos(x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡2(2x)cos⁡(x)=4sin⁡2(x)cos⁡3(x)\sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)} = 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫4sin⁡2(x)cos⁡3(x) dx=4∫sin⁡2(x)cos⁡3(x) dx\int 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡2(x)cos⁡3(x)=(1−sin⁡2(x))sin⁡2(x)cos⁡(x)\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

    2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫(−u4+u2) du\int \left(- u^{4} + u^{2}\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−u4) du=−∫u4 du\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          El resultado es: −u55+u33- \frac{u^{5}}{5} + \frac{u^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −sin⁡5(x)5+sin⁡3(x)3- \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (1−sin⁡2(x))sin⁡2(x)cos⁡(x)=−sin⁡4(x)cos⁡(x)+sin⁡2(x)cos⁡(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−sin⁡4(x)cos⁡(x)) dx=−∫sin⁡4(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

            Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫u4 du\int u^{4}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡5(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡5(x)5- \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u2 du\int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

        El resultado es: −sin⁡5(x)5+sin⁡3(x)3- \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (1−sin⁡2(x))sin⁡2(x)cos⁡(x)=−sin⁡4(x)cos⁡(x)+sin⁡2(x)cos⁡(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−sin⁡4(x)cos⁡(x)) dx=−∫sin⁡4(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

            Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫u4 du\int u^{4}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡5(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡5(x)5- \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u2 du\int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

        El resultado es: −sin⁡5(x)5+sin⁡3(x)3- \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

    Por lo tanto, el resultado es: −4sin⁡5(x)5+4sin⁡3(x)3- \frac{4 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

  3. Ahora simplificar:

    4(5−3sin⁡2(x))sin⁡3(x)15\frac{4 \left(5 - 3 \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}{15}

  4. Añadimos la constante de integración:

    4(5−3sin⁡2(x))sin⁡3(x)15+constant\frac{4 \left(5 - 3 \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}{15}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

4(5−3sin⁡2(x))sin⁡3(x)15+constant\frac{4 \left(5 - 3 \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}{15}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
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 |                                5           3   
 |    2                      4*sin (x)   4*sin (x)
 | sin (2*x)*cos(x) dx = C - --------- + ---------
 |                               5           3    
/
∫sin⁡2(2x)cos⁡(x) dx=C−4sin⁡5(x)5+4sin⁡3(x)3\int \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{4 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.01.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     2                  2                                   
7*sin (2)*sin(1)   8*cos (2)*sin(1)   4*cos(1)*cos(2)*sin(2)
---------------- + ---------------- - ----------------------
       15                 15                    15
−4sin⁡(2)cos⁡(1)cos⁡(2)15+8sin⁡(1)cos⁡2(2)15+7sin⁡(1)sin⁡2(2)15- \frac{4 \sin{\left(2 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{15} + \frac{8 \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(2 \right)}}{15} + \frac{7 \sin{\left(1 \right)} \sin^{2}{\left(2 \right)}}{15} 
=
= 
     2                  2                                   
7*sin (2)*sin(1)   8*cos (2)*sin(1)   4*cos(1)*cos(2)*sin(2)
---------------- + ---------------- - ----------------------
       15                 15                    15
−4sin⁡(2)cos⁡(1)cos⁡(2)15+8sin⁡(1)cos⁡2(2)15+7sin⁡(1)sin⁡2(2)15- \frac{4 \sin{\left(2 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{15} + \frac{8 \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(2 \right)}}{15} + \frac{7 \sin{\left(1 \right)} \sin^{2}{\left(2 \right)}}{15} 
7*sin(2)^2*sin(1)/15 + 8*cos(2)^2*sin(1)/15 - 4*cos(1)*cos(2)*sin(2)/15
Respuesta numérica [src] 
0.45692170546545
0.45692170546545

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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