Integral de cos(x)*dx*sin(x)/3^2+1 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{9}\, dx = \frac{\int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx}{9}$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Método #2

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{18}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   El resultado es: $x - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{18}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{18}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{18}+ \mathrm{constant}$