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Resolución de integrales/ x/cosx/ sin^5/ sin^5x/cosx

Integral de sin^5x/cosx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |     5      
 |  sin (x)   
 |  ------- dx
 |   cos(x)   
 |            
/             
0
∫01sin⁡5(x)cos⁡(x) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx 
Integral(sin(x)^5/cos(x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡5(x)cos⁡(x)=(1−cos⁡2(x))2sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = \frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=cos⁡2(x)u = \cos^{2}{\left(x \right)}.

      Luego que du=−2sin⁡(x)cos⁡(x)dxdu = - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

      ∫(−u2−2u+12u) du\int \left(- \frac{u^{2} - 2 u + 1}{2 u}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u2−2u+1u du=−∫u2−2u+1u du2\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u}\, du}{2}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u2−2u+1u=u−2+1u\frac{u^{2} - 2 u + 1}{u} = u - 2 + \frac{1}{u}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−2) du=−2u\int \left(-2\right)\, du = - 2 u

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          El resultado es: u22−2u+log⁡(u)\frac{u^{2}}{2} - 2 u + \log{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −u24+u−log⁡(u)2- \frac{u^{2}}{4} + u - \frac{\log{\left(u \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −log⁡(cos⁡2(x))2−cos⁡4(x)4+cos⁡2(x)- \frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4} + \cos^{2}{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−cos⁡2(x))2sin⁡(x)cos⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡4(x)−2sin⁡(x)cos⁡2(x)+sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

    2. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

      Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

      ∫(−u4−2u2+1u) du\int \left(- \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u4−2u2+1u du=−∫u4−2u2+1u du\int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u}\, du = - \int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u}\, du

        1. que u=u2u = u^{2}.

          Luego que du=2ududu = 2 u du y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫u2−2u+12u du\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{2 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2−2u+1u du=∫u2−2u+1u du2\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u}\, du}{2}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              u2−2u+1u=u−2+1u\frac{u^{2} - 2 u + 1}{u} = u - 2 + \frac{1}{u}

            2. Integramos término a término:

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫(−2) du=−2u\int \left(-2\right)\, du = - 2 u

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              El resultado es: u22−2u+log⁡(u)\frac{u^{2}}{2} - 2 u + \log{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: u24−u+log⁡(u)2\frac{u^{2}}{4} - u + \frac{\log{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          u44−u2+log⁡(u2)2\frac{u^{4}}{4} - u^{2} + \frac{\log{\left(u^{2} \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −u44+u2−log⁡(u2)2- \frac{u^{4}}{4} + u^{2} - \frac{\log{\left(u^{2} \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −log⁡(cos⁡2(x))2−cos⁡4(x)4+cos⁡2(x)- \frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4} + \cos^{2}{\left(x \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−cos⁡2(x))2sin⁡(x)cos⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡3(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u3) du\int \left(- u^{3}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u3 du=−∫u3 du\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −u44- \frac{u^{4}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡4(x)4- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2sin⁡(x)cos⁡(x)) dx=−2∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: cos⁡2(x)\cos^{2}{\left(x \right)}

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−1u) du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=−∫1u du\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −log⁡(cos⁡(x))- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}

      El resultado es: −log⁡(cos⁡(x))−cos⁡4(x)4+cos⁡2(x)- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4} + \cos^{2}{\left(x \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −log⁡(cos⁡2(x))2−cos⁡4(x)4+cos⁡2(x)+constant- \frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4} + \cos^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−log⁡(cos⁡2(x))2−cos⁡4(x)4+cos⁡2(x)+constant- \frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4} + \cos^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                 
 |                                                  
 |    5                          /   2   \      4   
 | sin (x)             2      log\cos (x)/   cos (x)
 | ------- dx = C + cos (x) - ------------ - -------
 |  cos(x)                         2            4   
 |                                                  
/
∫sin⁡5(x)cos⁡(x) dx=C−log⁡(cos⁡2(x))2−cos⁡4(x)4+cos⁡2(x)\int \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx = C - \frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4} + \cos^{2}{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.01.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                                 4   
  3      2                    cos (1)
- - + cos (1) - log(cos(1)) - -------
  4                              4
−34−cos⁡4(1)4+cos⁡2(1)−log⁡(cos⁡(1))- \frac{3}{4} - \frac{\cos^{4}{\left(1 \right)}}{4} + \cos^{2}{\left(1 \right)} - \log{\left(\cos{\left(1 \right)} \right)} 
=
= 
                                 4   
  3      2                    cos (1)
- - + cos (1) - log(cos(1)) - -------
  4                              4
−34−cos⁡4(1)4+cos⁡2(1)−log⁡(cos⁡(1))- \frac{3}{4} - \frac{\cos^{4}{\left(1 \right)}}{4} + \cos^{2}{\left(1 \right)} - \log{\left(\cos{\left(1 \right)} \right)} 
-3/4 + cos(1)^2 - log(cos(1)) - cos(1)^4/4
Respuesta numérica [src] 
0.136247769832824
0.136247769832824

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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