Integral de sin^5x/cosx dx

Solución

Ha introducido [src]

  1           
  /           
 |            
 |     5      
 |  sin (x)   
 |  ------- dx
 |   cos(x)   
 |            
/             
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx$$

Integral(sin(x)^5/cos(x), (x, 0, 1))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = \frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = \cos^{2}{\left(x \right)}$ .
  
  Luego que $du = - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$ :
  
  $\int \left(- \frac{u^{2} - 2 u + 1}{2 u}\right)\, du$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u}\, du}{2}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\frac{u^{2} - 2 u + 1}{u} = u - 2 + \frac{1}{u}$
    2. Integramos término a término:
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \left(-2\right)\, du = - 2 u$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      El resultado es: $\frac{u^{2}}{2} - 2 u + \log{\left(u \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{4} + u - \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- \frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4} + \cos^{2}{\left(x \right)}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
2. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
  
  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
  
  $\int \left(- \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u}\right)\, du$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u}\, du = - \int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u}\, du$
    1. que $u = u^{2}$ .
      
      Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{2 u}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u}\, du}{2}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\frac{u^{2} - 2 u + 1}{u} = u - 2 + \frac{1}{u}$
      
      Integramos término a término:
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \left(-2\right)\, du = - 2 u$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      El resultado es: $\frac{u^{2}}{2} - 2 u + \log{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{4} - u + \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{u^{4}}{4} - u^{2} + \frac{\log{\left(u^{2} \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4} + u^{2} - \frac{\log{\left(u^{2} \right)}}{2}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- \frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4} + \cos^{2}{\left(x \right)}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
2. Integramos término a término:
  1. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
    
    $\int \left(- u^{3}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u\, du = - \int u\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\cos^{2}{\left(x \right)}$
  1. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
    
    $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$
  El resultado es: $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4} + \cos^{2}{\left(x \right)}$
Añadimos la constante de integración:

$- \frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4} + \cos^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4} + \cos^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                 
 |                                                  
 |    5                          /   2   \      4   
 | sin (x)             2      log\cos (x)/   cos (x)
 | ------- dx = C + cos (x) - ------------ - -------
 |  cos(x)                         2            4   
 |                                                  
/

$$\int \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx = C - \frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4} + \cos^{2}{\left(x \right)}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

                                 4   
  3      2                    cos (1)
- - + cos (1) - log(cos(1)) - -------
  4                              4

$$- \frac{3}{4} - \frac{\cos^{4}{\left(1 \right)}}{4} + \cos^{2}{\left(1 \right)} - \log{\left(\cos{\left(1 \right)} \right)}$$

                                 4   
  3      2                    cos (1)
- - + cos (1) - log(cos(1)) - -------
  4                              4

$$- \frac{3}{4} - \frac{\cos^{4}{\left(1 \right)}}{4} + \cos^{2}{\left(1 \right)} - \log{\left(\cos{\left(1 \right)} \right)}$$

-3/4 + cos(1)^2 - log(cos(1)) - cos(1)^4/4

Respuesta numérica [src]

0.136247769832824

0.136247769832824

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de sin^5x/cosx dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3