Integral de cos(x)*log(sin(x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$.

      Luego que $du = \frac{\cos{\left(x \right)} dx}{\sin{\left(x \right)}}$ y ponemos $du$:

      $\int u e^{u}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del coseno es seno:

      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \sin{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$