Integral de (log(x)/log(2))/(sqrt(x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $\frac{du}{\log{\left(2 \right)}}$:

      $\int \frac{u e^{\frac{u}{2}}}{\log{\left(2 \right)}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u e^{\frac{u}{2}}\, du = \frac{\int u e^{\frac{u}{2}}\, du}{\log{\left(2 \right)}}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{\frac{u}{2}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = \frac{u}{2}$.

               Luego que $du = \frac{du}{2}$ y ponemos $2 du$:

               $\int 2 e^{u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $2 e^{\frac{u}{2}}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 e^{\frac{u}{2}}\, du = 2 \int e^{\frac{u}{2}}\, du$

            1. que $u = \frac{u}{2}$.

               Luego que $du = \frac{du}{2}$ y ponemos $2 du$:

               $\int 2 e^{u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $2 e^{\frac{u}{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $4 e^{\frac{u}{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u e^{\frac{u}{2}} - 4 e^{\frac{u}{2}}}{\log{\left(2 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \sqrt{x} \log{\left(x \right)} - 4 \sqrt{x}}{\log{\left(2 \right)}}$

   Método #2

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $\frac{2 du}{\log{\left(2 \right)}}$:

      $\int \frac{2 \log{\left(u^{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \log{\left(u^{2} \right)}\, du = \frac{2 \int \log{\left(u^{2} \right)}\, du}{\log{\left(2 \right)}}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u^{2} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{2}{u}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 2\, du = 2 u$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \left(u \log{\left(u^{2} \right)} - 2 u\right)}{\log{\left(2 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \left(\sqrt{x} \log{\left(x \right)} - 2 \sqrt{x}\right)}{\log{\left(2 \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \sqrt{x} \left(\log{\left(x \right)} - 2\right)}{\log{\left(2 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \sqrt{x} \left(\log{\left(x \right)} - 2\right)}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \sqrt{x} \left(\log{\left(x \right)} - 2\right)}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$