Integral de ((x-3)*cbrt(x)+2)/cbrt(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(3 u^{5} - 9 u^{2} + 6 u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u^{5}\, du = 3 \int u^{5}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{6}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 9 u^{2}\right)\, du = - 9 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 3 u^{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 u\, du = 6 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $3 u^{2}$

         El resultado es: $\frac{u^{6}}{2} - 3 u^{3} + 3 u^{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $3 x^{\frac{2}{3}} + \frac{x^{2}}{2} - 3 x$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sqrt[3]{x} \left(x - 3\right) + 2}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x^{\frac{4}{3}} - 3 \sqrt[3]{x} + 2}{\sqrt[3]{x}}$

   2. que $u = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{6 u^{4} - 9 u^{3} + 3}{u^{7}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{6 u^{4} - 9 u^{3} + 3}{u^{7}}\, du = - \int \frac{6 u^{4} - 9 u^{3} + 3}{u^{7}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{6 u^{4} - 9 u^{3} + 3}{u^{7}} = \frac{6}{u^{3}} - \frac{9}{u^{4}} + \frac{3}{u^{7}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{6}{u^{3}}\, du = 6 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3}{u^{2}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{9}{u^{4}}\right)\, du = - 9 \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{u^{3}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{3}{u^{7}}\, du = 3 \int \frac{1}{u^{7}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{7}}\, du = - \frac{1}{6 u^{6}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{2 u^{6}}$

            El resultado es: $- \frac{3}{u^{2}} + \frac{3}{u^{3}} - \frac{1}{2 u^{6}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{u^{2}} - \frac{3}{u^{3}} + \frac{1}{2 u^{6}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $3 x^{\frac{2}{3}} + \frac{x^{2}}{2} - 3 x$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sqrt[3]{x} \left(x - 3\right) + 2}{\sqrt[3]{x}} = x - 3 + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-3\right)\, dx = - 3 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2}{\sqrt[3]{x}}\, dx = 2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 x^{\frac{2}{3}}$

      El resultado es: $3 x^{\frac{2}{3}} + \frac{x^{2}}{2} - 3 x$

2. Añadimos la constante de integración:

   $3 x^{\frac{2}{3}} + \frac{x^{2}}{2} - 3 x+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$3 x^{\frac{2}{3}} + \frac{x^{2}}{2} - 3 x+ \mathrm{constant}$