Integral de (1+sinx)/(2+cosx) dx

Solución

Ha introducido [src]

 pi              
 --              
 2               
  /              
 |               
 |  1 + sin(x)   
 |  ---------- dx
 |  2 + cos(x)   
 |               
/                
0

$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin{\left(x \right)} + 1}{\cos{\left(x \right)} + 2}\, dx$$

Integral((1 + sin(x))/(2 + cos(x)), (x, 0, pi/2))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\frac{\sin{\left(x \right)} + 1}{\cos{\left(x \right)} + 2} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 2} + \frac{1}{\cos{\left(x \right)} + 2}$
Integramos término a término:
1. que $u = \cos{\left(x \right)} + 2$ .
  
  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
  
  $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$
    1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
    Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 2 \right)}$
1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
  
  Pero la integral
  
  $\frac{2 \sqrt{3} \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}}{\pi}}\right\rfloor\right)}{3}$
El resultado es: $\frac{2 \sqrt{3} \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}}{\pi}}\right\rfloor\right)}{3} - \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 2 \right)}$
Ahora simplificar:

$\frac{2 \sqrt{3} \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{x}{2 \pi} - \frac{1}{2}}\right\rfloor\right)}{3} - \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 2 \right)}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{2 \sqrt{3} \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{x}{2 \pi} - \frac{1}{2}}\right\rfloor\right)}{3} - \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 2 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \sqrt{3} \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{x}{2 \pi} - \frac{1}{2}}\right\rfloor\right)}{3} - \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 2 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

                                                 /        /x   pi\       /  ___    /x\\\
                                                 |        |- - --|       |\/ 3 *tan|-|||
  /                                          ___ |        |2   2 |       |         \2/||
 |                                       2*\/ 3 *|pi*floor|------| + atan|------------||
 | 1 + sin(x)                                    \        \  pi  /       \     3      //
 | ---------- dx = C - log(2 + cos(x)) + -----------------------------------------------
 | 2 + cos(x)                                                   3                       
 |                                                                                      
/

$$\int \frac{\sin{\left(x \right)} + 1}{\cos{\left(x \right)} + 2}\, dx = C + \frac{2 \sqrt{3} \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}}{\pi}}\right\rfloor\right)}{3} - \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 2 \right)}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

               ___                  
          pi*\/ 3                   
-log(4) + -------- + log(2) + log(3)
             9

$$- \log{\left(4 \right)} + \frac{\sqrt{3} \pi}{9} + \log{\left(2 \right)} + \log{\left(3 \right)}$$

               ___                  
          pi*\/ 3                   
-log(4) + -------- + log(2) + log(3)
             9

$$- \log{\left(4 \right)} + \frac{\sqrt{3} \pi}{9} + \log{\left(2 \right)} + \log{\left(3 \right)}$$

-log(4) + pi*sqrt(3)/9 + log(2) + log(3)

Respuesta numérica [src]

1.01006489618624

1.01006489618624

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de (1+sinx)/(2+cosx) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

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