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Resolución de integrales/ x*Cos(x*pi/5)

Integral de x*Cos(x*pi/5) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  2               
  /               
 |                
 |       /x*pi\   
 |  x*cos|----| dx
 |       \ 5  /   
 |                
/                 
0
∫02xcos⁡(πx5) dx\int\limits_{0}^{2} x \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}\, dx 
Integral(x*cos((x*pi)/5), (x, 0, 2))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(πx5)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}.

    Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. que u=πx5u = \frac{\pi x}{5}.

      Luego que du=πdx5du = \frac{\pi dx}{5} y ponemos 5duπ\frac{5 du}{\pi}:

      ∫5cos⁡(u)π du\int \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(u) du=5∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 5sin⁡(u)π\frac{5 \sin{\left(u \right)}}{\pi}

      Si ahora sustituir uu más en:

      5sin⁡(πx5)π\frac{5 \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫5sin⁡(πx5)π dx=5∫sin⁡(πx5) dxπ\int \frac{5 \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi}\, dx = \frac{5 \int \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}\, dx}{\pi}

    1. que u=πx5u = \frac{\pi x}{5}.

      Luego que du=πdx5du = \frac{\pi dx}{5} y ponemos 5duπ\frac{5 du}{\pi}:

      ∫5sin⁡(u)π du\int \frac{5 \sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(u) du=5∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −5cos⁡(u)π- \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{\pi}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −5cos⁡(πx5)π- \frac{5 \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi}

    Por lo tanto, el resultado es: −25cos⁡(πx5)π2- \frac{25 \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi^{2}}

  3. Ahora simplificar:

    5(πxsin⁡(πx5)+5cos⁡(πx5))π2\frac{5 \left(\pi x \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)} + 5 \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}\right)}{\pi^{2}}

  4. Añadimos la constante de integración:

    5(πxsin⁡(πx5)+5cos⁡(πx5))π2+constant\frac{5 \left(\pi x \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)} + 5 \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}\right)}{\pi^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

5(πxsin⁡(πx5)+5cos⁡(πx5))π2+constant\frac{5 \left(\pi x \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)} + 5 \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}\right)}{\pi^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                           /pi*x\          /pi*x\
 |                      25*cos|----|   5*x*sin|----|
 |      /x*pi\                \ 5  /          \ 5  /
 | x*cos|----| dx = C + ------------ + -------------
 |      \ 5  /                2              pi     
 |                          pi                      
/
∫xcos⁡(πx5) dx=C+5xsin⁡(πx5)π+25cos⁡(πx5)π2\int x \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}\, dx = C + \frac{5 x \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi} + \frac{25 \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi^{2}}
Simplificar
Gráfica
0.02.00.20.40.60.81.01.21.41.61.805
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                ___________                   
               /       ___       /        ___\
              /  5   \/ 5        |  1   \/ 5 |
        10*  /   - + -----    25*|- - + -----|
   25      \/    8     8         \  4     4  /
- --- + ------------------- + ----------------
    2            pi                   2       
  pi                                pi
−25π2+25(−14+54)π2+1058+58π- \frac{25}{\pi^{2}} + \frac{25 \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4}\right)}{\pi^{2}} + \frac{10 \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{\pi} 
=
= 
                ___________                   
               /       ___       /        ___\
              /  5   \/ 5        |  1   \/ 5 |
        10*  /   - + -----    25*|- - + -----|
   25      \/    8     8         \  4     4  /
- --- + ------------------- + ----------------
    2            pi                   2       
  pi                                pi
−25π2+25(−14+54)π2+1058+58π- \frac{25}{\pi^{2}} + \frac{25 \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4}\right)}{\pi^{2}} + \frac{10 \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{\pi} 
-25/pi^2 + 10*sqrt(5/8 + sqrt(5)/8)/pi + 25*(-1/4 + sqrt(5)/4)/pi^2
Respuesta numérica [src] 
1.27702651439587
1.27702651439587

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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