Integral de cos(x)*sen(x)*8sen^2(x)*dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $8 du$:

      $\int 8 u^{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{3}\, du = 8 \int u^{3}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 u^{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sin^{4}{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. que $u = \sin^{2}{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $4 du$:

      $\int 4 u\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = 4 \int u\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 u^{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sin^{4}{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 \sin^{4}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \sin^{4}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$