Integral de sin(2*q)/(cos^2(q)+24) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 \sin{\left(q \right)} \cos{\left(q \right)}}{\cos^{2}{\left(q \right)} + 24}\, dq = 2 \int \frac{\sin{\left(q \right)} \cos{\left(q \right)}}{\cos^{2}{\left(q \right)} + 24}\, dq$

      1. que $u = \cos^{2}{\left(q \right)} + 24$.

         Luego que $du = - 2 \sin{\left(q \right)} \cos{\left(q \right)} dq$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{1}{2 u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(q \right)} + 24 \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(\cos^{2}{\left(q \right)} + 24 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sin{\left(2 q \right)}}{\cos^{2}{\left(q \right)} + 24} = \frac{2 \sin{\left(q \right)} \cos{\left(q \right)}}{\cos^{2}{\left(q \right)} + 24}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 \sin{\left(q \right)} \cos{\left(q \right)}}{\cos^{2}{\left(q \right)} + 24}\, dq = 2 \int \frac{\sin{\left(q \right)} \cos{\left(q \right)}}{\cos^{2}{\left(q \right)} + 24}\, dq$

      1. que $u = \cos^{2}{\left(q \right)} + 24$.

         Luego que $du = - 2 \sin{\left(q \right)} \cos{\left(q \right)} dq$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{1}{2 u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(q \right)} + 24 \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(\cos^{2}{\left(q \right)} + 24 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- \log{\left(\cos^{2}{\left(q \right)} + 24 \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \log{\left(\cos^{2}{\left(q \right)} + 24 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \log{\left(\cos^{2}{\left(q \right)} + 24 \right)}+ \mathrm{constant}$