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Resolución de integrales/ (lnx)^2/ (lnx)/x/ cos(lnx)/ ((lnx)^2+2)*cos(lnx)/x

Integral de ((lnx)^2+2)*cos(lnx)/x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                             
  /                             
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 |  \log (x) + 2/*cos(log(x))   
 |  ------------------------- dx
 |              x               
 |                              
/                               
0
∫01(log⁡(x)2+2)cos⁡(log⁡(x))x dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(\log{\left(x \right)}^{2} + 2\right) \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\, dx 
Integral(((log(x)^2 + 2)*cos(log(x)))/x, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫(u2cos⁡(u)+2cos⁡(u)) du\int \left(u^{2} \cos{\left(u \right)} + 2 \cos{\left(u \right)}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=cos⁡(u)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}.

          Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=2uu{\left(u \right)} = 2 u y que dv⁡(u)=sin⁡(u)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}.

          Entonces du⁡(u)=2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2cos⁡(u)) du=−2∫cos⁡(u) du\int \left(- 2 \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(u)- 2 \sin{\left(u \right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

        El resultado es: u2sin⁡(u)+2ucos⁡(u)u^{2} \sin{\left(u \right)} + 2 u \cos{\left(u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log⁡(x)2sin⁡(log⁡(x))+2log⁡(x)cos⁡(log⁡(x))\log{\left(x \right)}^{2} \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2 \log{\left(x \right)} \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (log⁡(x)2+2)cos⁡(log⁡(x))x=log⁡(x)2cos⁡(log⁡(x))+2cos⁡(log⁡(x))x\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{2} + 2\right) \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} = \frac{\log{\left(x \right)}^{2} \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2 \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}

    2. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

      ∫(−log⁡(1u)2cos⁡(log⁡(1u))+2cos⁡(log⁡(1u))u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} \cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)} + 2 \cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫log⁡(1u)2cos⁡(log⁡(1u))+2cos⁡(log⁡(1u))u du=−∫log⁡(1u)2cos⁡(log⁡(1u))+2cos⁡(log⁡(1u))u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} \cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)} + 2 \cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} \cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)} + 2 \cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\, du

        1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

          Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos dudu:

          ∫(−u2cos⁡(u)−2cos⁡(u)) du\int \left(- u^{2} \cos{\left(u \right)} - 2 \cos{\left(u \right)}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u2cos⁡(u)) du=−∫u2cos⁡(u) du\int \left(- u^{2} \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - \int u^{2} \cos{\left(u \right)}\, du

              1. Usamos la integración por partes:

                ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

                que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=cos⁡(u)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}.

                Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

                Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Ahora resolvemos podintegral.

              2. Usamos la integración por partes:

                ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

                que u(u)=2uu{\left(u \right)} = 2 u y que dv⁡(u)=sin⁡(u)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}.

                Entonces du⁡(u)=2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2.

                Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Ahora resolvemos podintegral.

              3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−2cos⁡(u)) du=−2∫cos⁡(u) du\int \left(- 2 \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(u)- 2 \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −u2sin⁡(u)−2ucos⁡(u)+2sin⁡(u)- u^{2} \sin{\left(u \right)} - 2 u \cos{\left(u \right)} + 2 \sin{\left(u \right)}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−2cos⁡(u)) du=−2∫cos⁡(u) du\int \left(- 2 \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(u)- 2 \sin{\left(u \right)}

            El resultado es: −u2sin⁡(u)−2ucos⁡(u)- u^{2} \sin{\left(u \right)} - 2 u \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −log⁡(1u)2sin⁡(log⁡(1u))−2log⁡(1u)cos⁡(log⁡(1u))- \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} \sin{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)} - 2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} \cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)2sin⁡(log⁡(1u))+2log⁡(1u)cos⁡(log⁡(1u))\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} \sin{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)} + 2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} \cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log⁡(x)2sin⁡(log⁡(x))+2log⁡(x)cos⁡(log⁡(x))\log{\left(x \right)}^{2} \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2 \log{\left(x \right)} \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (log⁡(x)2+2)cos⁡(log⁡(x))x=log⁡(x)2cos⁡(log⁡(x))x+2cos⁡(log⁡(x))x\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{2} + 2\right) \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} = \frac{\log{\left(x \right)}^{2} \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} + \frac{2 \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

        Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

        ∫(−log⁡(1u)2cos⁡(log⁡(1u))u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} \cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫log⁡(1u)2cos⁡(log⁡(1u))u du=−∫log⁡(1u)2cos⁡(log⁡(1u))u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} \cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} \cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\, du

          1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

            Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

            ∫(−u2cos⁡(u)) du\int \left(- u^{2} \cos{\left(u \right)}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u2cos⁡(u) du=−∫u2cos⁡(u) du\int u^{2} \cos{\left(u \right)}\, du = - \int u^{2} \cos{\left(u \right)}\, du

              1. Usamos la integración por partes:

                ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

                que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=cos⁡(u)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}.

                Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

                Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Ahora resolvemos podintegral.

              2. Usamos la integración por partes:

                ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

                que u(u)=2uu{\left(u \right)} = 2 u y que dv⁡(u)=sin⁡(u)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}.

                Entonces du⁡(u)=2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2.

                Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Ahora resolvemos podintegral.

              3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−2cos⁡(u)) du=−2∫cos⁡(u) du\int \left(- 2 \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(u)- 2 \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −u2sin⁡(u)−2ucos⁡(u)+2sin⁡(u)- u^{2} \sin{\left(u \right)} - 2 u \cos{\left(u \right)} + 2 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −log⁡(1u)2sin⁡(log⁡(1u))−2log⁡(1u)cos⁡(log⁡(1u))+2sin⁡(log⁡(1u))- \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} \sin{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)} - 2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} \cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)} + 2 \sin{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)2sin⁡(log⁡(1u))+2log⁡(1u)cos⁡(log⁡(1u))−2sin⁡(log⁡(1u))\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} \sin{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)} + 2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} \cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)} - 2 \sin{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(x)2sin⁡(log⁡(x))+2log⁡(x)cos⁡(log⁡(x))−2sin⁡(log⁡(x))\log{\left(x \right)}^{2} \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2 \log{\left(x \right)} \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 2 \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2cos⁡(log⁡(x))x dx=2∫cos⁡(log⁡(x))x dx\int \frac{2 \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\, dx = 2 \int \frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\, dx

        1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

          Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

          ∫(−cos⁡(log⁡(1u))u) du\int \left(- \frac{\cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(log⁡(1u))u du=−∫cos⁡(log⁡(1u))u du\int \frac{\cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\, du

            1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

              Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

              ∫(−cos⁡(u)) du\int \left(- \cos{\left(u \right)}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=−∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = - \int \cos{\left(u \right)}\, du

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(u)- \sin{\left(u \right)}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −sin⁡(log⁡(1u))- \sin{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(log⁡(1u))\sin{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(log⁡(x))\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(log⁡(x))2 \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}

      El resultado es: log⁡(x)2sin⁡(log⁡(x))+2log⁡(x)cos⁡(log⁡(x))\log{\left(x \right)}^{2} \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2 \log{\left(x \right)} \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}

  2. Ahora simplificar:

    (log⁡(x)sin⁡(log⁡(x))+2cos⁡(log⁡(x)))log⁡(x)\left(\log{\left(x \right)} \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2 \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right) \log{\left(x \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (log⁡(x)sin⁡(log⁡(x))+2cos⁡(log⁡(x)))log⁡(x)+constant\left(\log{\left(x \right)} \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2 \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right) \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(log⁡(x)sin⁡(log⁡(x))+2cos⁡(log⁡(x)))log⁡(x)+constant\left(\log{\left(x \right)} \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2 \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right) \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                             
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 | \log (x) + 2/*cos(log(x))             2                                      
 | ------------------------- dx = C + log (x)*sin(log(x)) + 2*cos(log(x))*log(x)
 |             x                                                                
 |                                                                              
/
∫(log⁡(x)2+2)cos⁡(log⁡(x))x dx=C+log⁡(x)2sin⁡(log⁡(x))+2log⁡(x)cos⁡(log⁡(x))\int \frac{\left(\log{\left(x \right)}^{2} + 2\right) \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\, dx = C + \log{\left(x \right)}^{2} \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2 \log{\left(x \right)} \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}
Simplificar
Respuesta [src] 
  1                             
  /                             
 |                              
 |  /       2   \               
 |  \2 + log (x)/*cos(log(x))   
 |  ------------------------- dx
 |              x               
 |                              
/                               
0
∫01(log⁡(x)2+2)cos⁡(log⁡(x))x dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(\log{\left(x \right)}^{2} + 2\right) \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\, dx 
=
= 
  1                             
  /                             
 |                              
 |  /       2   \               
 |  \2 + log (x)/*cos(log(x))   
 |  ------------------------- dx
 |              x               
 |                              
/                               
0
∫01(log⁡(x)2+2)cos⁡(log⁡(x))x dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(\log{\left(x \right)}^{2} + 2\right) \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\, dx 
Integral((2 + log(x)^2)*cos(log(x))/x, (x, 0, 1))
Respuesta numérica [src] 
299.808861987152
299.808861987152

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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