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Resolución de integrales/ x*sin(2*x-pi/2)/2-x*sin(x)/2

Integral de x*sin(2*x-pi/2)/2-x*sin(x)/2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  pi                                
  --                                
  2                                 
   /                                
  |                                 
  |  /     /      pi\           \   
  |  |x*sin|2*x - --|           |   
  |  |     \      2 /   x*sin(x)|   
  |  |--------------- - --------| dx
  |  \       2             2    /   
  |                                 
 /                                  
-pi                                 
----                                
 2
∫−π2π2(−xsin⁡(x)2+xsin⁡(2x−π2)2) dx\int\limits_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{x \sin{\left(2 x - \frac{\pi}{2} \right)}}{2}\right)\, dx 
Integral((x*sin(2*x - pi/2))/2 - x*sin(x)/2, (x, -pi/2, pi/2))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−xsin⁡(x)2) dx=−∫xsin⁡(x) dx2\int \left(- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int x \sin{\left(x \right)}\, dx}{2}

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(x)) dx=−∫cos⁡(x) dx\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(x)- \sin{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: xcos⁡(x)2−sin⁡(x)2\frac{x \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫xsin⁡(2x−π2)2 dx=∫xsin⁡(2x−π2) dx2\int \frac{x \sin{\left(2 x - \frac{\pi}{2} \right)}}{2}\, dx = \frac{\int x \sin{\left(2 x - \frac{\pi}{2} \right)}\, dx}{2}

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          xsin⁡(2x−π2)=−xcos⁡(2x)x \sin{\left(2 x - \frac{\pi}{2} \right)} = - x \cos{\left(2 x \right)}

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−xcos⁡(2x)) dx=−∫xcos⁡(2x) dx\int \left(- x \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int x \cos{\left(2 x \right)}\, dx

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}.

            Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

            Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(2x)2 dx=∫sin⁡(2x) dx2\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

              Método #1

              1. que u=2xu = 2 x.

                Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                    ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

              Método #2

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫2sin⁡(x)cos⁡(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

                1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

                  Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

                  ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                    1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                      ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                    Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡2(x)- \cos^{2}{\left(x \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2x)4- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −xsin⁡(2x)2−cos⁡(2x)4- \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          xsin⁡(2x−π2)=−xcos⁡(2x)x \sin{\left(2 x - \frac{\pi}{2} \right)} = - x \cos{\left(2 x \right)}

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−xcos⁡(2x)) dx=−∫xcos⁡(2x) dx\int \left(- x \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int x \cos{\left(2 x \right)}\, dx

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}.

            Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

            Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(2x)2 dx=∫sin⁡(2x) dx2\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2x)4- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −xsin⁡(2x)2−cos⁡(2x)4- \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: −xsin⁡(2x)4−cos⁡(2x)8- \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}

    El resultado es: −xsin⁡(2x)4+xcos⁡(x)2−sin⁡(x)2−cos⁡(2x)8- \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{x \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −xsin⁡(2x)4+xcos⁡(x)2−sin⁡(x)2−cos⁡(2x)8+constant- \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{x \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−xsin⁡(2x)4+xcos⁡(x)2−sin⁡(x)2−cos⁡(2x)8+constant- \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{x \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                               
 |                                                                                
 | /     /      pi\           \                                                   
 | |x*sin|2*x - --|           |                                                   
 | |     \      2 /   x*sin(x)|          sin(x)   cos(2*x)   x*cos(x)   x*sin(2*x)
 | |--------------- - --------| dx = C - ------ - -------- + -------- - ----------
 | \       2             2    /            2         8          2           4     
 |                                                                                
/
∫(−xsin⁡(x)2+xsin⁡(2x−π2)2) dx=C−xsin⁡(2x)4+xcos⁡(x)2−sin⁡(x)2−cos⁡(2x)8\int \left(- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{x \sin{\left(2 x - \frac{\pi}{2} \right)}}{2}\right)\, dx = C - \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{x \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}
Simplificar
Gráfica
-1.50-1.25-1.00-0.75-0.50-0.250.000.250.500.751.001.251.502.5-2.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-1
−1-1 
=
= 
-1
−1-1 
-1
Respuesta numérica [src] 
-1.0
-1.0

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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