Integral de (2-x)sin(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(u \sin{\left(u \right)} + 2 \sin{\left(u \right)}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - \int \cos{\left(u \right)}\, du$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(u \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \cos{\left(u \right)}$

         El resultado es: $- u \cos{\left(u \right)} + \sin{\left(u \right)} - 2 \cos{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 - x\right) \sin{\left(x \right)} = - x \sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int x \sin{\left(x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \sin{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \cos{\left(x \right)}$

      El resultado es: $x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}$

   Método #3

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = 2 - x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = -1$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del coseno es seno:

      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$