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Resolución de integrales/ ln(3x)/ (8x+4)ln(3x)dx

Integral de (8x+4)ln(3x)dx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  0                      
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 |  (8*x + 4)*log(3*x) dx
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0
∫00(8x+4)log⁡(3x) dx\int\limits_{0}^{0} \left(8 x + 4\right) \log{\left(3 x \right)}\, dx 
Integral((8*x + 4)*log(3*x), (x, 0, 0))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (8x+4)log⁡(3x)=8xlog⁡(x)+8xlog⁡(3)+4log⁡(x)+4log⁡(3)\left(8 x + 4\right) \log{\left(3 x \right)} = 8 x \log{\left(x \right)} + 8 x \log{\left(3 \right)} + 4 \log{\left(x \right)} + 4 \log{\left(3 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫8xlog⁡(x) dx=8∫xlog⁡(x) dx\int 8 x \log{\left(x \right)}\, dx = 8 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 4x2log⁡(x)−2x24 x^{2} \log{\left(x \right)} - 2 x^{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫8xlog⁡(3) dx=8log⁡(3)∫x dx\int 8 x \log{\left(3 \right)}\, dx = 8 \log{\left(3 \right)} \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 4x2log⁡(3)4 x^{2} \log{\left(3 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4log⁡(x) dx=4∫log⁡(x) dx\int 4 \log{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \log{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Por lo tanto, el resultado es: 4xlog⁡(x)−4x4 x \log{\left(x \right)} - 4 x

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫4log⁡(3) dx=4xlog⁡(3)\int 4 \log{\left(3 \right)}\, dx = 4 x \log{\left(3 \right)}

      El resultado es: 4x2log⁡(x)−2x2+4x2log⁡(3)+4xlog⁡(x)−4x+4xlog⁡(3)4 x^{2} \log{\left(x \right)} - 2 x^{2} + 4 x^{2} \log{\left(3 \right)} + 4 x \log{\left(x \right)} - 4 x + 4 x \log{\left(3 \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(3x)u{\left(x \right)} = \log{\left(3 x \right)} y que dv⁡(x)=8x+4\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 8 x + 4.

      Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫8x dx=8∫x dx\int 8 x\, dx = 8 \int x\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 4x24 x^{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫4 dx=4x\int 4\, dx = 4 x

        El resultado es: 4x2+4x4 x^{2} + 4 x

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      4x2+4xx=4x+4\frac{4 x^{2} + 4 x}{x} = 4 x + 4

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4x dx=4∫x dx\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 2x22 x^{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫4 dx=4x\int 4\, dx = 4 x

      El resultado es: 2x2+4x2 x^{2} + 4 x

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (8x+4)log⁡(3x)=8xlog⁡(x)+8xlog⁡(3)+4log⁡(x)+4log⁡(3)\left(8 x + 4\right) \log{\left(3 x \right)} = 8 x \log{\left(x \right)} + 8 x \log{\left(3 \right)} + 4 \log{\left(x \right)} + 4 \log{\left(3 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫8xlog⁡(x) dx=8∫xlog⁡(x) dx\int 8 x \log{\left(x \right)}\, dx = 8 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 4x2log⁡(x)−2x24 x^{2} \log{\left(x \right)} - 2 x^{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫8xlog⁡(3) dx=8log⁡(3)∫x dx\int 8 x \log{\left(3 \right)}\, dx = 8 \log{\left(3 \right)} \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 4x2log⁡(3)4 x^{2} \log{\left(3 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4log⁡(x) dx=4∫log⁡(x) dx\int 4 \log{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \log{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Por lo tanto, el resultado es: 4xlog⁡(x)−4x4 x \log{\left(x \right)} - 4 x

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫4log⁡(3) dx=4xlog⁡(3)\int 4 \log{\left(3 \right)}\, dx = 4 x \log{\left(3 \right)}

      El resultado es: 4x2log⁡(x)−2x2+4x2log⁡(3)+4xlog⁡(x)−4x+4xlog⁡(3)4 x^{2} \log{\left(x \right)} - 2 x^{2} + 4 x^{2} \log{\left(3 \right)} + 4 x \log{\left(x \right)} - 4 x + 4 x \log{\left(3 \right)}

  2. Ahora simplificar:

    2x(2xlog⁡(x)−x+xlog⁡(9)+2log⁡(x)−2+log⁡(9))2 x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + x \log{\left(9 \right)} + 2 \log{\left(x \right)} - 2 + \log{\left(9 \right)}\right)

  3. Añadimos la constante de integración:

    2x(2xlog⁡(x)−x+xlog⁡(9)+2log⁡(x)−2+log⁡(9))+constant2 x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + x \log{\left(9 \right)} + 2 \log{\left(x \right)} - 2 + \log{\left(9 \right)}\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2x(2xlog⁡(x)−x+xlog⁡(9)+2log⁡(x)−2+log⁡(9))+constant2 x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + x \log{\left(9 \right)} + 2 \log{\left(x \right)} - 2 + \log{\left(9 \right)}\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                            
 |                                      2                                2             2       
 | (8*x + 4)*log(3*x) dx = C - 4*x - 2*x  + 4*x*log(3) + 4*x*log(x) + 4*x *log(3) + 4*x *log(x)
 |                                                                                             
/
∫(8x+4)log⁡(3x) dx=C+4x2log⁡(x)−2x2+4x2log⁡(3)+4xlog⁡(x)−4x+4xlog⁡(3)\int \left(8 x + 4\right) \log{\left(3 x \right)}\, dx = C + 4 x^{2} \log{\left(x \right)} - 2 x^{2} + 4 x^{2} \log{\left(3 \right)} + 4 x \log{\left(x \right)} - 4 x + 4 x \log{\left(3 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.02-0.02
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
0
00 
=
= 
0
00 
0
Respuesta numérica [src] 
0.0
0.0

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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