Integral de x/sqrt(1+3x) dx

1. que $u = \sqrt{3 x + 1}$.

   Luego que $du = \frac{3 dx}{2 \sqrt{3 x + 1}}$ y ponemos $du$:

   $\int \left(\frac{2 u^{2}}{9} - \frac{2}{9}\right)\, du$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 u^{2}}{9}\, du = \frac{2 \int u^{2}\, du}{9}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{27}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(- \frac{2}{9}\right)\, du = - \frac{2 u}{9}$

      El resultado es: $\frac{2 u^{3}}{27} - \frac{2 u}{9}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{2 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{27} - \frac{2 \sqrt{3 x + 1}}{9}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \left(3 x - 2\right) \sqrt{3 x + 1}}{27}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \left(3 x - 2\right) \sqrt{3 x + 1}}{27}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(3 x - 2\right) \sqrt{3 x + 1}}{27}+ \mathrm{constant}$