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Resolución de integrales/ (1+3x)/ cos(2x)/ cos(2x)/(sqrt(1+3x))

Integral de cos(2x)/(sqrt(1+3x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo               
  /               
 |                
 |    cos(2*x)    
 |  ----------- dx
 |    _________   
 |  \/ 1 + 3*x    
 |                
/                 
1
∫1∞cos⁡(2x)3x+1 dx\int\limits_{1}^{\infty} \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{\sqrt{3 x + 1}}\, dx 
Integral(cos(2*x)/sqrt(1 + 3*x), (x, 1, oo))
Solución detallada

  1. que u=3x+1u = \sqrt{3 x + 1}.

    Luego que du=3dx23x+1du = \frac{3 dx}{2 \sqrt{3 x + 1}} y ponemos 2du3\frac{2 du}{3}:

    ∫2cos⁡(2u23−23)3 du\int \frac{2 \cos{\left(\frac{2 u^{2}}{3} - \frac{2}{3} \right)}}{3}\, du

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫cos⁡(2u23−23) du=2∫cos⁡(2u23−23) du3\int \cos{\left(\frac{2 u^{2}}{3} - \frac{2}{3} \right)}\, du = \frac{2 \int \cos{\left(\frac{2 u^{2}}{3} - \frac{2}{3} \right)}\, du}{3}

        FresnelCRule(a=2/3, b=0, c=-2/3, context=cos(2*_u**2/3 - 2/3), symbol=_u)

      Por lo tanto, el resultado es: 3π(cos⁡(23)C(23u3π)+sin⁡(23)S(23u3π))3\frac{\sqrt{3} \sqrt{\pi} \left(\cos{\left(\frac{2}{3} \right)} C\left(\frac{2 \sqrt{3} u}{3 \sqrt{\pi}}\right) + \sin{\left(\frac{2}{3} \right)} S\left(\frac{2 \sqrt{3} u}{3 \sqrt{\pi}}\right)\right)}{3}

    Si ahora sustituir uu más en:

    3π(cos⁡(23)C(233x+13π)+sin⁡(23)S(233x+13π))3\frac{\sqrt{3} \sqrt{\pi} \left(\cos{\left(\frac{2}{3} \right)} C\left(\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{3 x + 1}}{3 \sqrt{\pi}}\right) + \sin{\left(\frac{2}{3} \right)} S\left(\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{3 x + 1}}{3 \sqrt{\pi}}\right)\right)}{3}

  2. Añadimos la constante de integración:

    3π(cos⁡(23)C(233x+13π)+sin⁡(23)S(233x+13π))3+constant\frac{\sqrt{3} \sqrt{\pi} \left(\cos{\left(\frac{2}{3} \right)} C\left(\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{3 x + 1}}{3 \sqrt{\pi}}\right) + \sin{\left(\frac{2}{3} \right)} S\left(\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{3 x + 1}}{3 \sqrt{\pi}}\right)\right)}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3π(cos⁡(23)C(233x+13π)+sin⁡(23)S(233x+13π))3+constant\frac{\sqrt{3} \sqrt{\pi} \left(\cos{\left(\frac{2}{3} \right)} C\left(\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{3 x + 1}}{3 \sqrt{\pi}}\right) + \sin{\left(\frac{2}{3} \right)} S\left(\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{3 x + 1}}{3 \sqrt{\pi}}\right)\right)}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                     /          /    ___   _________\    /    ___   _________\         \
                          ___   ____ |          |2*\/ 3 *\/ 1 + 3*x |    |2*\/ 3 *\/ 1 + 3*x |         |
  /                     \/ 3 *\/ pi *|cos(2/3)*C|-------------------| + S|-------------------|*sin(2/3)|
 |                                   |          |          ____     |    |          ____     |         |
 |   cos(2*x)                        \          \      3*\/ pi      /    \      3*\/ pi      /         /
 | ----------- dx = C + --------------------------------------------------------------------------------
 |   _________                                                 3                                        
 | \/ 1 + 3*x                                                                                           
 |                                                                                                      
/
∫cos⁡(2x)3x+1 dx=C+3π(cos⁡(23)C(233x+13π)+sin⁡(23)S(233x+13π))3\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{\sqrt{3 x + 1}}\, dx = C + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\pi} \left(\cos{\left(\frac{2}{3} \right)} C\left(\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{3 x + 1}}{3 \sqrt{\pi}}\right) + \sin{\left(\frac{2}{3} \right)} S\left(\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{3 x + 1}}{3 \sqrt{\pi}}\right)\right)}{3}
Simplificar
Respuesta [src] 
 oo               
  /               
 |                
 |    cos(2*x)    
 |  ----------- dx
 |    _________   
 |  \/ 1 + 3*x    
 |                
/                 
1
∫1∞cos⁡(2x)3x+1 dx\int\limits_{1}^{\infty} \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{\sqrt{3 x + 1}}\, dx 
=
= 
 oo               
  /               
 |                
 |    cos(2*x)    
 |  ----------- dx
 |    _________   
 |  \/ 1 + 3*x    
 |                
/                 
1
∫1∞cos⁡(2x)3x+1 dx\int\limits_{1}^{\infty} \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{\sqrt{3 x + 1}}\, dx 
Integral(cos(2*x)/sqrt(1 + 3*x), (x, 1, oo))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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