Integral de (1+x+x^2)/sqrt(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(2 u^{4} + 2 u^{2} + 2\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{4}\, du = 2 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 2\, du = 2 u$

         El resultado es: $\frac{2 u^{5}}{5} + \frac{2 u^{3}}{3} + 2 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \sqrt{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2} + \left(x + 1\right)}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{x^{2}}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- 2 du$:

         $\int \left(- \frac{2}{u^{6}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{6}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{5 u^{5}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

      El resultado es: $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \sqrt{x}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \sqrt{x} \left(3 x^{2} + 5 x + 15\right)}{15}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \sqrt{x} \left(3 x^{2} + 5 x + 15\right)}{15}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \sqrt{x} \left(3 x^{2} + 5 x + 15\right)}{15}+ \mathrm{constant}$