Sr Examen

Integral de dx/sin*2x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  x            
  -            
  2            
  /            
 |             
 |     1       
 |  -------- dx
 |  sin(2*x)   
 |             
/              
x              
-              
4              
$$\int\limits_{\frac{x}{4}}^{\frac{x}{2}} \frac{1}{\sin{\left(2 x \right)}}\, dx$$
Integral(1/sin(2*x), (x, x/4, x/2))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /           
 |            
 |    1       
 | -------- dx
 | sin(2*x)   
 |            
/             
La función subintegral
   1    
--------
sin(2*x)
Multiplicamos numerador y denominador por
sin(2*x)
obtendremos
   1        sin(2*x)
-------- = ---------
sin(2*x)      2     
           sin (2*x)
Como
sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
entonces
   2               2     
sin (2*x) = 1 - cos (2*x)
cambiamos denominador
 sin(2*x)      sin(2*x)  
--------- = -------------
   2               2     
sin (2*x)   1 - cos (2*x)
hacemos el cambio
u = cos(2*x)
entonces integral
  /                  
 |                   
 |    sin(2*x)       
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - cos (2*x)     
 |                   
/                    
  
  /                  
 |                   
 |    sin(2*x)       
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - cos (2*x)     
 |                   
/                    
  
Como du = -2*dx*sin(2*x)
  /             
 |              
 |    -1        
 | ---------- du
 |   /     2\   
 | 2*\1 - u /   
 |              
/               
Reescribimos la función subintegral
   -1        -1  /  1       1  \
---------- = ---*|----- + -----|
  /     2\   2*2 \1 - u   1 + u/
2*\1 - u /                      
entonces
                       /             /          
                      |             |           
                      |   1         |   1       
                      | ----- du    | ----- du  
  /                   | 1 + u       | 1 - u     
 |                    |             |           
 |    -1             /             /           =
 | ---------- du = - ----------- - -----------  
 |   /     2\             4             4       
 | 2*\1 - u /                                   
 |                                              
/                                               
  
= -log(1 + u)/4 + log(-1 + u)/4
hacemos cambio inverso
u = cos(2*x)
Respuesta
  /                                                           
 |                                                            
 |    1            log(1 + cos(2*x))   log(-1 + cos(2*x))     
 | -------- dx = - ----------------- + ------------------ + C0
 | sin(2*x)                4                   4              
 |                                                            
/                                                             
donde C0 es la constante que no depende de x
Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                        
 |                                                         
 |    1              log(1 + cos(2*x))   log(-1 + cos(2*x))
 | -------- dx = C - ----------------- + ------------------
 | sin(2*x)                  4                   4         
 |                                                         
/                                                          
$$\int \frac{1}{\sin{\left(2 x \right)}}\, dx = C + \frac{\log{\left(\cos{\left(2 x \right)} - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(\cos{\left(2 x \right)} + 1 \right)}}{4}$$
Respuesta [src]
                       /        /x\\      /       /x\\                   
                    log|-1 + cos|-||   log|1 + cos|-||                   
  log(1 + cos(x))      \        \2//      \       \2//   log(-1 + cos(x))
- --------------- - ---------------- + --------------- + ----------------
         4                 4                  4                 4        
$$- \frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{4}$$
=
=
                       /        /x\\      /       /x\\                   
                    log|-1 + cos|-||   log|1 + cos|-||                   
  log(1 + cos(x))      \        \2//      \       \2//   log(-1 + cos(x))
- --------------- - ---------------- + --------------- + ----------------
         4                 4                  4                 4        
$$- \frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{4}$$
-log(1 + cos(x))/4 - log(-1 + cos(x/2))/4 + log(1 + cos(x/2))/4 + log(-1 + cos(x))/4

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.