Sr Examen
Integral de dx/sin*2x dx
Solución
Ha introducido
[src]
x - 2 / | | 1 | -------- dx | sin(2*x) | / x - 4
$$\int\limits_{\frac{x}{4}}^{\frac{x}{2}} \frac{1}{\sin{\left(2 x \right)}}\, dx$$
Integral(1/sin(2*x), (x, x/4, x/2))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 1 | -------- dx | sin(2*x) | /
La función subintegral
1 -------- sin(2*x)
Multiplicamos numerador y denominador por
sin(2*x)
obtendremos
1 sin(2*x)
-------- = ---------
sin(2*x) 2
sin (2*x)Como
sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
entonces
2 2 sin (2*x) = 1 - cos (2*x)
cambiamos denominador
sin(2*x) sin(2*x) --------- = ------------- 2 2 sin (2*x) 1 - cos (2*x)
hacemos el cambio
u = cos(2*x)
entonces integral
/ | | sin(2*x) | ------------- dx | 2 = | 1 - cos (2*x) | /
/ | | sin(2*x) | ------------- dx | 2 = | 1 - cos (2*x) | /
Como du = -2*dx*sin(2*x)
/ | | -1 | ---------- du | / 2\ | 2*\1 - u / | /
Reescribimos la función subintegral
-1 -1 / 1 1 \ ---------- = ---*|----- + -----| / 2\ 2*2 \1 - u 1 + u/ 2*\1 - u /
entonces
/ /
| |
| 1 | 1
| ----- du | ----- du
/ | 1 + u | 1 - u
| | |
| -1 / / =
| ---------- du = - ----------- - -----------
| / 2\ 4 4
| 2*\1 - u /
|
/
= -log(1 + u)/4 + log(-1 + u)/4
hacemos cambio inverso
u = cos(2*x)
Respuesta
/ | | 1 log(1 + cos(2*x)) log(-1 + cos(2*x)) | -------- dx = - ----------------- + ------------------ + C0 | sin(2*x) 4 4 | /
donde C0 es la constante que no depende de x
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | | 1 log(1 + cos(2*x)) log(-1 + cos(2*x)) | -------- dx = C - ----------------- + ------------------ | sin(2*x) 4 4 | /
$$\int \frac{1}{\sin{\left(2 x \right)}}\, dx = C + \frac{\log{\left(\cos{\left(2 x \right)} - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(\cos{\left(2 x \right)} + 1 \right)}}{4}$$
Respuesta
[src]
/ /x\\ / /x\\
log|-1 + cos|-|| log|1 + cos|-||
log(1 + cos(x)) \ \2// \ \2// log(-1 + cos(x))
- --------------- - ---------------- + --------------- + ----------------
4 4 4 4
$$- \frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{4}$$
=
=
/ /x\\ / /x\\
log|-1 + cos|-|| log|1 + cos|-||
log(1 + cos(x)) \ \2// \ \2// log(-1 + cos(x))
- --------------- - ---------------- + --------------- + ----------------
4 4 4 4
$$- \frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{4}$$
-log(1 + cos(x))/4 - log(-1 + cos(x/2))/4 + log(1 + cos(x/2))/4 + log(-1 + cos(x))/4
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.