Integral de e^(cos^(2)x)sin(2x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 e^{\cos^{2}{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int e^{\cos^{2}{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u e^{u^{2}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u e^{u^{2}}\, du = - \int u e^{u^{2}}\, du$

            1. que $u = u^{2}$.

               Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{u^{2}}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u^{2}}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{e^{\cos^{2}{\left(x \right)}}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- e^{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{\cos^{2}{\left(x \right)}} \sin{\left(2 x \right)} = 2 e^{\cos^{2}{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 e^{\cos^{2}{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int e^{\cos^{2}{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u e^{u^{2}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u e^{u^{2}}\, du = - \int u e^{u^{2}}\, du$

            1. que $u = u^{2}$.

               Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{u^{2}}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u^{2}}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{e^{\cos^{2}{\left(x \right)}}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- e^{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- e^{\cos^{2}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- e^{\cos^{2}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$