Integral de x^2*dx/sqrt(3+2*x) dx

1. que $u = \sqrt{2 x + 3}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{\sqrt{2 x + 3}}$ y ponemos $du$:

   $\int \left(\frac{u^{2}}{2} - \frac{3}{2}\right)^{2}\, du$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\frac{u^{2}}{2} - \frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{u^{4}}{4} - \frac{3 u^{2}}{2} + \frac{9}{4}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{4}}{4}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{4}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5}}{20}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{3 u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{3 \int u^{2}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{9}{4}\, du = \frac{9 u}{4}$

      El resultado es: $\frac{u^{5}}{20} - \frac{u^{3}}{2} + \frac{9 u}{4}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{\left(2 x + 3\right)^{\frac{5}{2}}}{20} - \frac{\left(2 x + 3\right)^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{9 \sqrt{2 x + 3}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\sqrt{2 x + 3} \left(x^{2} - 2 x + 6\right)}{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sqrt{2 x + 3} \left(x^{2} - 2 x + 6\right)}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{2 x + 3} \left(x^{2} - 2 x + 6\right)}{5}+ \mathrm{constant}$