Integral de sin(2*x)/((2*exp(2*x))) dx

1. que $u = 2 x$.

   Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

   $\int \frac{e^{- u} \sin{\left(u \right)}}{4}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int e^{- u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int e^{- u} \sin{\left(u \right)}\, du}{4}$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = - u$.

            Luego que $du = - du$ y ponemos $du$:

            $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du$

            1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

               1. Para el integrando $e^{u} \sin{\left(u \right)}$:

                  que $u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du$.

               2. Para el integrando $e^{u} \cos{\left(u \right)}$:

                  que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$.

               3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

                  $2 \int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto,

                  $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{- u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

         Método #2

         1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

            1. Para el integrando $e^{- u} \sin{\left(u \right)}$:

               que $u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- u}$.

               Entonces $\int e^{- u} \sin{\left(u \right)}\, du = - \int \left(- e^{- u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du - e^{- u} \sin{\left(u \right)}$.

            2. Para el integrando $- e^{- u} \cos{\left(u \right)}$:

               que $u{\left(u \right)} = - \cos{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- u}$.

               Entonces $\int e^{- u} \sin{\left(u \right)}\, du = \int \left(- e^{- u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du - e^{- u} \sin{\left(u \right)} - e^{- u} \cos{\left(u \right)}$.

            3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

               $2 \int e^{- u} \sin{\left(u \right)}\, du = - e^{- u} \sin{\left(u \right)} - e^{- u} \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto,

               $\int e^{- u} \sin{\left(u \right)}\, du = - \frac{e^{- u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{- u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{- u} \sin{\left(u \right)}}{8} - \frac{e^{- u} \cos{\left(u \right)}}{8}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(2 x \right)}}{8}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\sqrt{2} e^{- 2 x} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{8}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\sqrt{2} e^{- 2 x} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\sqrt{2} e^{- 2 x} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$