Integral de ctg(ln(x))/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int \cot{\left(u \right)}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cot{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}$

      2. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \right)}$

   Método #2

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{\cot{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\cot{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\cot{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\, du$

         1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \cot{\left(u \right)}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cot{\left(u \right)}\, du = - \int \cot{\left(u \right)}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cot{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}$

               2. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \log{\left(\sin{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(\sin{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\log{\left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\log{\left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$