Integral de (6-lnx)*cos(lnx) dx

Solución

Ha introducido [src]

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 |  (6 - log(x))*cos(log(x)) dx
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0

$$\int\limits_{0}^{1} \left(6 - \log{\left(x \right)}\right) \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\, dx$$

Integral((6 - log(x))*cos(log(x)), (x, 0, 1))

Solución detallada

que $u = \log{\left(x \right)}$ .

Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$ :

$\int \left(- u e^{u} \cos{\left(u \right)} + 6 e^{u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du$
1. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- u e^{u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - \int u e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du$
    1. Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u} \cos{\left(u \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.
        
        Para el integrando $e^{u} \cos{\left(u \right)}$ :
        
        que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$ .
        
        Entonces $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \cos{\left(u \right)} - \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$ .
        
        Para el integrando $- e^{u} \sin{\left(u \right)}$ :
        
        que $u{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$ .
        
        Entonces $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du$ .
        
        Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:
        
        $2 \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)}$
        
        Por lo tanto,
        
        $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} + \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$
      Ahora resolvemos podintegral.
    2. Integramos término a término:
      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
        
        $\int \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$
        
        Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.
        
        Para el integrando $e^{u} \sin{\left(u \right)}$ :
        
        que $u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$ .
        
        Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du$ .
        
        Para el integrando $e^{u} \cos{\left(u \right)}$ :
        
        que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$ .
        
        Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$ .
        
        Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:
        
        $2 \int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)}$
        
        Por lo tanto,
        
        $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$
        
        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{4} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{4}$
      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
        
        $\int \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
        
        Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.
        
        Para el integrando $e^{u} \cos{\left(u \right)}$ :
        
        que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$ .
        
        Entonces $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \cos{\left(u \right)} - \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$ .
        
        Para el integrando $- e^{u} \sin{\left(u \right)}$ :
        
        que $u{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$ .
        
        Entonces $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du$ .
        
        Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:
        
        $2 \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)}$
        
        Por lo tanto,
        
        $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} + \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$
        
        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{4} + \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{4}$
      El resultado es: $\frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- u \left(\frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} + \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}\right) + \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 6 e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = 6 \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du$
    1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.
      1. Para el integrando $e^{u} \cos{\left(u \right)}$ :
        
        que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$ .
        
        Entonces $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \cos{\left(u \right)} - \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$ .
      2. Para el integrando $- e^{u} \sin{\left(u \right)}$ :
        
        que $u{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$ .
        
        Entonces $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du$ .
      3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:
        
        $2 \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)}$
        
        Por lo tanto,
        
        $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} + \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $3 e^{u} \sin{\left(u \right)} + 3 e^{u} \cos{\left(u \right)}$
  El resultado es: $- u \left(\frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} + \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}\right) + \frac{7 e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} + 3 e^{u} \cos{\left(u \right)}$
Si ahora sustituir $u$ más en:

$\frac{7 x \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} + 3 x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \left(\frac{x \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2}\right) \log{\left(x \right)}$
Ahora simplificar:

$\frac{x \left(- \sqrt{2} \log{\left(x \right)} \sin{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)} + 7 \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 6 \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right)}{2}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{x \left(- \sqrt{2} \log{\left(x \right)} \sin{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)} + 7 \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 6 \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right)}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(- \sqrt{2} \log{\left(x \right)} \sin{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)} + 7 \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 6 \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right)}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                                                                            
 |                                   /x*cos(log(x))   x*sin(log(x))\                            7*x*sin(log(x))
 | (6 - log(x))*cos(log(x)) dx = C - |------------- + -------------|*log(x) + 3*x*cos(log(x)) + ---------------
 |                                   \      2               2      /                                   2       
/

$$\int \left(6 - \log{\left(x \right)}\right) \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\, dx = C + \frac{7 x \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} + 3 x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \left(\frac{x \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2}\right) \log{\left(x \right)}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

$$3$$

Respuesta numérica [src]

3.0

3.0

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de (6-lnx)*cos(lnx) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución