Integral de Sh(x)*ch(x)/(1-sh^2(x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sinh{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \cosh{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{u}{u^{2} - 1}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u}{u^{2} - 1}\, du = - \int \frac{u}{u^{2} - 1}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u}{u^{2} - 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} - 1}\, du}{2}$

            1. que $u = u^{2} - 1$.

               Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u^{2} - 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u^{2} - 1 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u^{2} - 1 \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\log{\left(\sinh^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sinh{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)}}{1 - \sinh^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{\sinh{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)}}{\sinh^{2}{\left(x \right)} - 1}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\sinh{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)}}{\sinh^{2}{\left(x \right)} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{\sinh{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)}}{\sinh^{2}{\left(x \right)} - 1}\, dx$

      1. que $u = \sinh^{2}{\left(x \right)} - 1$.

         Luego que $du = 2 \sinh{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(\sinh^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(\sinh^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\log{\left(\cosh^{2}{\left(x \right)} - 2 \right)}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\log{\left(\cosh^{2}{\left(x \right)} - 2 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\log{\left(\cosh^{2}{\left(x \right)} - 2 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$