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Resolución de integrales/ ch(x)/ sh^2(x)/ Sh(x)*ch(x)/(1-sh^2(x))

Integral de Sh(x)*ch(x)/(1-sh^2(x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |  sinh(x)*cosh(x)   
 |  --------------- dx
 |            2       
 |    1 - sinh (x)    
 |                    
/                     
0
∫01sinh⁡(x)cosh⁡(x)1−sinh⁡2(x) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sinh{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)}}{1 - \sinh^{2}{\left(x \right)}}\, dx 
Integral((sinh(x)*cosh(x))/(1 - sinh(x)^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=sinh⁡(x)u = \sinh{\left(x \right)}.

      Luego que du=cosh⁡(x)dxdu = \cosh{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

      ∫(−uu2−1) du\int \left(- \frac{u}{u^{2} - 1}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫uu2−1 du=−∫uu2−1 du\int \frac{u}{u^{2} - 1}\, du = - \int \frac{u}{u^{2} - 1}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫uu2−1 du=∫2uu2−1 du2\int \frac{u}{u^{2} - 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} - 1}\, du}{2}

          1. que u=u2−1u = u^{2} - 1.

            Luego que du=2ududu = 2 u du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(u2−1)\log{\left(u^{2} - 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u2−1)2\frac{\log{\left(u^{2} - 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u2−1)2- \frac{\log{\left(u^{2} - 1 \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −log⁡(sinh⁡2(x)−1)2- \frac{\log{\left(\sinh^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sinh⁡(x)cosh⁡(x)1−sinh⁡2(x)=−sinh⁡(x)cosh⁡(x)sinh⁡2(x)−1\frac{\sinh{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)}}{1 - \sinh^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{\sinh{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)}}{\sinh^{2}{\left(x \right)} - 1}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−sinh⁡(x)cosh⁡(x)sinh⁡2(x)−1) dx=−∫sinh⁡(x)cosh⁡(x)sinh⁡2(x)−1 dx\int \left(- \frac{\sinh{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)}}{\sinh^{2}{\left(x \right)} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{\sinh{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)}}{\sinh^{2}{\left(x \right)} - 1}\, dx

      1. que u=sinh⁡2(x)−1u = \sinh^{2}{\left(x \right)} - 1.

        Luego que du=2sinh⁡(x)cosh⁡(x)dxdu = 2 \sinh{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(sinh⁡2(x)−1)2\frac{\log{\left(\sinh^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(sinh⁡2(x)−1)2- \frac{\log{\left(\sinh^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    −log⁡(cosh⁡2(x)−2)2- \frac{\log{\left(\cosh^{2}{\left(x \right)} - 2 \right)}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −log⁡(cosh⁡2(x)−2)2+constant- \frac{\log{\left(\cosh^{2}{\left(x \right)} - 2 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−log⁡(cosh⁡2(x)−2)2+constant- \frac{\log{\left(\cosh^{2}{\left(x \right)} - 2 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                           
 |                             /         2   \
 | sinh(x)*cosh(x)          log\-1 + sinh (x)/
 | --------------- dx = C - ------------------
 |           2                      2         
 |   1 - sinh (x)                             
 |                                            
/
∫sinh⁡(x)cosh⁡(x)1−sinh⁡2(x) dx=C−log⁡(sinh⁡2(x)−1)2\int \frac{\sinh{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)}}{1 - \sinh^{2}{\left(x \right)}}\, dx = C - \frac{\log{\left(\sinh^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-5000050000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
nan
NaN\text{NaN} 
=
= 
nan
NaN\text{NaN} 
nan
Respuesta numérica [src] 
0.518400407922251
0.518400407922251

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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