Sr Examen

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Integral de Sh(x)*ch(x)/(1-sh^2(x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                   
  /                   
 |                    
 |  sinh(x)*cosh(x)   
 |  --------------- dx
 |            2       
 |    1 - sinh (x)    
 |                    
/                     
0                     
01sinh(x)cosh(x)1sinh2(x)dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sinh{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)}}{1 - \sinh^{2}{\left(x \right)}}\, dx
Integral((sinh(x)*cosh(x))/(1 - sinh(x)^2), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=sinh(x)u = \sinh{\left(x \right)}.

      Luego que du=cosh(x)dxdu = \cosh{\left(x \right)} dx y ponemos du- du:

      (uu21)du\int \left(- \frac{u}{u^{2} - 1}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        uu21du=uu21du\int \frac{u}{u^{2} - 1}\, du = - \int \frac{u}{u^{2} - 1}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          uu21du=2uu21du2\int \frac{u}{u^{2} - 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} - 1}\, du}{2}

          1. que u=u21u = u^{2} - 1.

            Luego que du=2ududu = 2 u du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            12udu\int \frac{1}{2 u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log(u21)\log{\left(u^{2} - 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log(u21)2\frac{\log{\left(u^{2} - 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: log(u21)2- \frac{\log{\left(u^{2} - 1 \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log(sinh2(x)1)2- \frac{\log{\left(\sinh^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sinh(x)cosh(x)1sinh2(x)=sinh(x)cosh(x)sinh2(x)1\frac{\sinh{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)}}{1 - \sinh^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{\sinh{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)}}{\sinh^{2}{\left(x \right)} - 1}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      (sinh(x)cosh(x)sinh2(x)1)dx=sinh(x)cosh(x)sinh2(x)1dx\int \left(- \frac{\sinh{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)}}{\sinh^{2}{\left(x \right)} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{\sinh{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)}}{\sinh^{2}{\left(x \right)} - 1}\, dx

      1. que u=sinh2(x)1u = \sinh^{2}{\left(x \right)} - 1.

        Luego que du=2sinh(x)cosh(x)dxdu = 2 \sinh{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        12udu\int \frac{1}{2 u}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          1udu=1udu2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: log(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log(sinh2(x)1)2\frac{\log{\left(\sinh^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: log(sinh2(x)1)2- \frac{\log{\left(\sinh^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    log(cosh2(x)2)2- \frac{\log{\left(\cosh^{2}{\left(x \right)} - 2 \right)}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    log(cosh2(x)2)2+constant- \frac{\log{\left(\cosh^{2}{\left(x \right)} - 2 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

log(cosh2(x)2)2+constant- \frac{\log{\left(\cosh^{2}{\left(x \right)} - 2 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                           
 |                             /         2   \
 | sinh(x)*cosh(x)          log\-1 + sinh (x)/
 | --------------- dx = C - ------------------
 |           2                      2         
 |   1 - sinh (x)                             
 |                                            
/                                             
sinh(x)cosh(x)1sinh2(x)dx=Clog(sinh2(x)1)2\int \frac{\sinh{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)}}{1 - \sinh^{2}{\left(x \right)}}\, dx = C - \frac{\log{\left(\sinh^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-5000050000
Respuesta [src]
nan
NaN\text{NaN}
=
=
nan
NaN\text{NaN}
nan
Respuesta numérica [src]
0.518400407922251
0.518400407922251

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.