Sr Examen
Integral de y*sqrt(x^2-y^2) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | _________ | / 2 2 | y*\/ x - y dx | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} y \sqrt{x^{2} - y^{2}}\, dx$$
Integral(y*sqrt(x^2 - y^2), (x, 0, 1))
Solución detallada
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
-
No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
Pero la integral
Por lo tanto, el resultado es:
-
-
Ahora simplificar:
-
Añadimos la constante de integración:
Respuesta:
Respuesta (Indefinida)
[src]
// 2 /x\ \
|| y *acosh|-| 3 | 2| |
|| \y/ x x*y |x | |
||- ----------- + ------------------- - ----------------- for |--| > 1|
|| 2 _________ _________ | 2| |
/ || / 2 / 2 |y | |
| || / x / x |
| _________ || 2*y* / -1 + -- 2* / -1 + -- |
| / 2 2 || / 2 / 2 |
| y*\/ x - y dx = C + y*|< \/ y \/ y |
| || |
/ || ________ |
|| / 2 |
|| / x |
|| 2 /x\ I*x*y* / 1 - -- |
|| I*y *asin|-| / 2 |
|| \y/ \/ y |
|| ------------ + -------------------- otherwise |
\\ 2 2 /
$$\int y \sqrt{x^{2} - y^{2}}\, dx = C + y \left(\begin{cases} \frac{x^{3}}{2 y \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} - 1}} - \frac{x y}{2 \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} - 1}} - \frac{y^{2} \operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{y} \right)}}{2} & \text{for}\: \left|{\frac{x^{2}}{y^{2}}}\right| > 1 \\\frac{i x y \sqrt{- \frac{x^{2}}{y^{2}} + 1}}{2} + \frac{i y^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{y} \right)}}{2} & \text{otherwise} \end{cases}\right)$$
Respuesta
[src]
1 / | | / / 2 4 2 \ 2 | | | y x x 3*x | x | |y*|- --------------- + ---------------- - ----------------- + -------------------| for ---- > 1 | | | _________ 3/2 3/2 _________| | 2| | | | / 2 / 2\ / 2\ / 2 | |y | | | | / x | x | 3 | x | / x | | | | / -1 + -- 2*y*|-1 + --| 2*y *|-1 + --| 2*y* / -1 + -- | | | | / 2 | 2| | 2| / 2 | | | \ \/ y \ y / \ y / \/ y / | | | | / ________ \ | < | / 2 | dx | | | / x | | | |I*y* / 1 - -- | | | | / 2 2 | | | | \/ y I*y I*x | | | y*|------------------ + ---------------- - ------------------| otherwise | | | 2 ________ ________| | | | / 2 / 2 | | | | / x / x | | | | 2* / 1 - -- 2*y* / 1 - -- | | | | / 2 / 2 | | \ \ \/ y \/ y / | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \begin{cases} y \left(- \frac{x^{4}}{2 y^{3} \left(\frac{x^{2}}{y^{2}} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 x^{2}}{2 y \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} - 1}} + \frac{x^{2}}{2 y \left(\frac{x^{2}}{y^{2}} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{y}{\sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} - 1}}\right) & \text{for}\: \frac{x^{2}}{\left|{y^{2}}\right|} > 1 \\y \left(- \frac{i x^{2}}{2 y \sqrt{- \frac{x^{2}}{y^{2}} + 1}} + \frac{i y \sqrt{- \frac{x^{2}}{y^{2}} + 1}}{2} + \frac{i y}{2 \sqrt{- \frac{x^{2}}{y^{2}} + 1}}\right) & \text{otherwise} \end{cases}\, dx$$
=
=
1 / | | / / 2 4 2 \ 2 | | | y x x 3*x | x | |y*|- --------------- + ---------------- - ----------------- + -------------------| for ---- > 1 | | | _________ 3/2 3/2 _________| | 2| | | | / 2 / 2\ / 2\ / 2 | |y | | | | / x | x | 3 | x | / x | | | | / -1 + -- 2*y*|-1 + --| 2*y *|-1 + --| 2*y* / -1 + -- | | | | / 2 | 2| | 2| / 2 | | | \ \/ y \ y / \ y / \/ y / | | | | / ________ \ | < | / 2 | dx | | | / x | | | |I*y* / 1 - -- | | | | / 2 2 | | | | \/ y I*y I*x | | | y*|------------------ + ---------------- - ------------------| otherwise | | | 2 ________ ________| | | | / 2 / 2 | | | | / x / x | | | | 2* / 1 - -- 2*y* / 1 - -- | | | | / 2 / 2 | | \ \ \/ y \/ y / | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \begin{cases} y \left(- \frac{x^{4}}{2 y^{3} \left(\frac{x^{2}}{y^{2}} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 x^{2}}{2 y \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} - 1}} + \frac{x^{2}}{2 y \left(\frac{x^{2}}{y^{2}} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{y}{\sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} - 1}}\right) & \text{for}\: \frac{x^{2}}{\left|{y^{2}}\right|} > 1 \\y \left(- \frac{i x^{2}}{2 y \sqrt{- \frac{x^{2}}{y^{2}} + 1}} + \frac{i y \sqrt{- \frac{x^{2}}{y^{2}} + 1}}{2} + \frac{i y}{2 \sqrt{- \frac{x^{2}}{y^{2}} + 1}}\right) & \text{otherwise} \end{cases}\, dx$$
Integral(Piecewise((y*(-y/sqrt(-1 + x^2/y^2) + x^2/(2*y*(-1 + x^2/y^2)^(3/2)) - x^4/(2*y^3*(-1 + x^2/y^2)^(3/2)) + 3*x^2/(2*y*sqrt(-1 + x^2/y^2))), x^2/|y^2| > 1), (y*(i*y*sqrt(1 - x^2/y^2)/2 + i*y/(2*sqrt(1 - x^2/y^2)) - i*x^2/(2*y*sqrt(1 - x^2/y^2))), True)), (x, 0, 1))
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.