Integral de (sinx-cosx)⁷dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{7} = \sin^{7}{\left(x \right)} - 7 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 21 \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - 35 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} + 35 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 21 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{5}{\left(x \right)} + 7 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} - \cos^{7}{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin^{7}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin{\left(x \right)}$

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{6}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{4}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\cos^{3}{\left(x \right)}$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

            El resultado es: $\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{6}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{4}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\cos^{3}{\left(x \right)}$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

            El resultado es: $\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 7 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 7 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \sin^{7}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 21 \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 21 \int \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

         2. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \left(- u^{6} + 2 u^{4} - u^{2}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 2 u^{4}\, du = 2 \int u^{4}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{5}}{5}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

               El resultado es: $- \frac{u^{7}}{7} + \frac{2 u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \cos^{7}{\left(x \right)} + \frac{42 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - 7 \cos^{3}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 35 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 35 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

         2. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \left(- u^{6} + u^{4}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               El resultado es: $- \frac{u^{7}}{7} + \frac{u^{5}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 \sin^{7}{\left(x \right)} - 7 \sin^{5}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 35 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 35 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}$

         2. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \left(u^{6} - u^{4}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$

               El resultado es: $\frac{u^{7}}{7} - \frac{u^{5}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 \cos^{7}{\left(x \right)} - 7 \cos^{5}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 21 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{5}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 21 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

         2. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \left(u^{6} - 2 u^{4} + u^{2}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 2 u^{4}\right)\, du = - 2 \int u^{4}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{5}}{5}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               El resultado es: $\frac{u^{7}}{7} - \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{2 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \sin^{7}{\left(x \right)} + \frac{42 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - 7 \sin^{3}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 7 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx = 7 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{6}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \cos^{7}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \cos^{7}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos^{7}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos^{7}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \cos{\left(x \right)}$

         2. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

         3. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{6}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 3 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{4}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \sin^{3}{\left(x \right)}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            El resultado es: $- \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \sin^{3}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\frac{8 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{4 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - 6 \sin^{3}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} + \frac{8 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{4 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - 6 \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{7} = \sin^{7}{\left(x \right)} - 7 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 21 \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - 35 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} + 35 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 21 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{5}{\left(x \right)} + 7 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} - \cos^{7}{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin^{7}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin{\left(x \right)}$

      2. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

      3. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{6}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{4}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\cos^{3}{\left(x \right)}$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         El resultado es: $\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 7 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 7 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \sin^{7}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 21 \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 21 \int \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

         2. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \left(- u^{6} + 2 u^{4} - u^{2}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 2 u^{4}\, du = 2 \int u^{4}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{5}}{5}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

               El resultado es: $- \frac{u^{7}}{7} + \frac{2 u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \cos^{7}{\left(x \right)} + \frac{42 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - 7 \cos^{3}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 35 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 35 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

         2. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \left(- u^{6} + u^{4}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               El resultado es: $- \frac{u^{7}}{7} + \frac{u^{5}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 \sin^{7}{\left(x \right)} - 7 \sin^{5}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 35 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 35 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}$

         2. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \left(u^{6} - u^{4}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$

               El resultado es: $\frac{u^{7}}{7} - \frac{u^{5}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 \cos^{7}{\left(x \right)} - 7 \cos^{5}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 21 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{5}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 21 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

         2. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \left(u^{6} - 2 u^{4} + u^{2}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 2 u^{4}\right)\, du = - 2 \int u^{4}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{5}}{5}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               El resultado es: $\frac{u^{7}}{7} - \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{2 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \sin^{7}{\left(x \right)} + \frac{42 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - 7 \sin^{3}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 7 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx = 7 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{6}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \cos^{7}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \cos^{7}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos^{7}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos^{7}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \cos{\left(x \right)}$

         2. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

         3. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{6}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 3 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{4}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \sin^{3}{\left(x \right)}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            El resultado es: $- \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \sin^{3}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\frac{8 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{4 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - 6 \sin^{3}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} + \frac{8 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{4 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - 6 \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{8 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{4 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - 6 \sin^{3}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} + \frac{8 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{4 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - 6 \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{8 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{4 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - 6 \sin^{3}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} + \frac{8 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{4 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - 6 \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$