Integral de 2e^xdx/(e^x+7)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2}{u^{3} + 21 u^{2} + 147 u + 343}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u^{3} + 21 u^{2} + 147 u + 343}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{3} + 21 u^{2} + 147 u + 343}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{u^{3} + 21 u^{2} + 147 u + 343} = \frac{1}{\left(u + 7\right)^{3}}$

         2. que $u = u + 7$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{2 \left(u + 7\right)^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{\left(u + 7\right)^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{\left(e^{x} + 7\right)^{2}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 e^{x}}{\left(e^{x} + 7\right)^{3}} = \frac{2 e^{x}}{e^{3 x} + 21 e^{2 x} + 147 e^{x} + 343}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 e^{x}}{e^{3 x} + 21 e^{2 x} + 147 e^{x} + 343}\, dx = 2 \int \frac{e^{x}}{e^{3 x} + 21 e^{2 x} + 147 e^{x} + 343}\, dx$

      1. que $u = e^{x}$.

         Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{3} + 21 u^{2} + 147 u + 343}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{u^{3} + 21 u^{2} + 147 u + 343} = \frac{1}{\left(u + 7\right)^{3}}$

         2. que $u = u + 7$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{2 \left(u + 7\right)^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{2 \left(e^{x} + 7\right)^{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{\left(e^{x} + 7\right)^{2}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 e^{x}}{\left(e^{x} + 7\right)^{3}} = \frac{2 e^{x}}{e^{3 x} + 21 e^{2 x} + 147 e^{x} + 343}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 e^{x}}{e^{3 x} + 21 e^{2 x} + 147 e^{x} + 343}\, dx = 2 \int \frac{e^{x}}{e^{3 x} + 21 e^{2 x} + 147 e^{x} + 343}\, dx$

      1. que $u = e^{x}$.

         Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{3} + 21 u^{2} + 147 u + 343}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{u^{3} + 21 u^{2} + 147 u + 343} = \frac{1}{\left(u + 7\right)^{3}}$

         2. que $u = u + 7$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{2 \left(u + 7\right)^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{2 \left(e^{x} + 7\right)^{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{\left(e^{x} + 7\right)^{2}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{1}{\left(e^{x} + 7\right)^{2}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{1}{\left(e^{x} + 7\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{1}{\left(e^{x} + 7\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$