Integral de (x-4,14)×2×sinx×2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 2 \cdot 2 \left(x - \frac{207}{50}\right) \sin{\left(x \right)}\, dx = 2 \int 2 \left(x - \frac{207}{50}\right) \sin{\left(x \right)}\, dx$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \left(x - \frac{207}{50}\right) \sin{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \left(x - \frac{207}{50}\right) \sin{\left(x \right)}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(x - \frac{207}{50}\right) \sin{\left(x \right)} = x \sin{\left(x \right)} - \frac{207 \sin{\left(x \right)}}{50}$

         2. Integramos término a término:

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(x \right)}$:

               1. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(x \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{207 \sin{\left(x \right)}}{50}\right)\, dx = - \frac{207 \int \sin{\left(x \right)}\, dx}{50}$

               1. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{207 \cos{\left(x \right)}}{50}$

            El resultado es: $- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + \frac{207 \cos{\left(x \right)}}{50}$

         Método #2

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x - \frac{207}{50}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} + \frac{207 \cos{\left(x \right)}}{25}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- 4 x \cos{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} + \frac{414 \cos{\left(x \right)}}{25}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 4 x \cos{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} + \frac{414 \cos{\left(x \right)}}{25}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 4 x \cos{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} + \frac{414 \cos{\left(x \right)}}{25}+ \mathrm{constant}$