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Resolución de integrales/ cos(y)/ sin(y)/ y*y*(cos(y)+sin(y))/2

Integral de y*y*(cos(y)+sin(y))/2 dy

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                         
 --                         
 2                          
  /                         
 |                          
 |  y*y*(cos(y) + sin(y))   
 |  --------------------- dy
 |            2             
 |                          
/                           
0
∫0π2yy(sin⁡(y)+cos⁡(y))2 dy\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{y y \left(\sin{\left(y \right)} + \cos{\left(y \right)}\right)}{2}\, dy 
Integral(((y*y)*(cos(y) + sin(y)))/2, (y, 0, pi/2))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫yy(sin⁡(y)+cos⁡(y))2 dy=∫yy(sin⁡(y)+cos⁡(y)) dy2\int \frac{y y \left(\sin{\left(y \right)} + \cos{\left(y \right)}\right)}{2}\, dy = \frac{\int y y \left(\sin{\left(y \right)} + \cos{\left(y \right)}\right)\, dy}{2}

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        yy(sin⁡(y)+cos⁡(y))=y2sin⁡(y)+y2cos⁡(y)y y \left(\sin{\left(y \right)} + \cos{\left(y \right)}\right) = y^{2} \sin{\left(y \right)} + y^{2} \cos{\left(y \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(y)=y2u{\left(y \right)} = y^{2} y que dv⁡(y)=sin⁡(y)\operatorname{dv}{\left(y \right)} = \sin{\left(y \right)}.

          Entonces du⁡(y)=2y\operatorname{du}{\left(y \right)} = 2 y.

          Para buscar v(y)v{\left(y \right)}:

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(y) dy=−cos⁡(y)\int \sin{\left(y \right)}\, dy = - \cos{\left(y \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(y)=−2yu{\left(y \right)} = - 2 y y que dv⁡(y)=cos⁡(y)\operatorname{dv}{\left(y \right)} = \cos{\left(y \right)}.

          Entonces du⁡(y)=−2\operatorname{du}{\left(y \right)} = -2.

          Para buscar v(y)v{\left(y \right)}:

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(y) dy=sin⁡(y)\int \cos{\left(y \right)}\, dy = \sin{\left(y \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2sin⁡(y)) dy=−2∫sin⁡(y) dy\int \left(- 2 \sin{\left(y \right)}\right)\, dy = - 2 \int \sin{\left(y \right)}\, dy

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(y) dy=−cos⁡(y)\int \sin{\left(y \right)}\, dy = - \cos{\left(y \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(y)2 \cos{\left(y \right)}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(y)=y2u{\left(y \right)} = y^{2} y que dv⁡(y)=cos⁡(y)\operatorname{dv}{\left(y \right)} = \cos{\left(y \right)}.

          Entonces du⁡(y)=2y\operatorname{du}{\left(y \right)} = 2 y.

          Para buscar v(y)v{\left(y \right)}:

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(y) dy=sin⁡(y)\int \cos{\left(y \right)}\, dy = \sin{\left(y \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(y)=2yu{\left(y \right)} = 2 y y que dv⁡(y)=sin⁡(y)\operatorname{dv}{\left(y \right)} = \sin{\left(y \right)}.

          Entonces du⁡(y)=2\operatorname{du}{\left(y \right)} = 2.

          Para buscar v(y)v{\left(y \right)}:

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(y) dy=−cos⁡(y)\int \sin{\left(y \right)}\, dy = - \cos{\left(y \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2cos⁡(y)) dy=−2∫cos⁡(y) dy\int \left(- 2 \cos{\left(y \right)}\right)\, dy = - 2 \int \cos{\left(y \right)}\, dy

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(y) dy=sin⁡(y)\int \cos{\left(y \right)}\, dy = \sin{\left(y \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(y)- 2 \sin{\left(y \right)}

        El resultado es: y2sin⁡(y)−y2cos⁡(y)+2ysin⁡(y)+2ycos⁡(y)−2sin⁡(y)+2cos⁡(y)y^{2} \sin{\left(y \right)} - y^{2} \cos{\left(y \right)} + 2 y \sin{\left(y \right)} + 2 y \cos{\left(y \right)} - 2 \sin{\left(y \right)} + 2 \cos{\left(y \right)}

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(y)=y2u{\left(y \right)} = y^{2} y que dv⁡(y)=sin⁡(y)+cos⁡(y)\operatorname{dv}{\left(y \right)} = \sin{\left(y \right)} + \cos{\left(y \right)}.

        Entonces du⁡(y)=2y\operatorname{du}{\left(y \right)} = 2 y.

        Para buscar v(y)v{\left(y \right)}:

        1. Integramos término a término:

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(y) dy=−cos⁡(y)\int \sin{\left(y \right)}\, dy = - \cos{\left(y \right)}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(y) dy=sin⁡(y)\int \cos{\left(y \right)}\, dy = \sin{\left(y \right)}

          El resultado es: sin⁡(y)−cos⁡(y)\sin{\left(y \right)} - \cos{\left(y \right)}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2y(sin⁡(y)−cos⁡(y)) dy=2∫y(sin⁡(y)−cos⁡(y)) dy\int 2 y \left(\sin{\left(y \right)} - \cos{\left(y \right)}\right)\, dy = 2 \int y \left(\sin{\left(y \right)} - \cos{\left(y \right)}\right)\, dy

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          y(sin⁡(y)−cos⁡(y))=ysin⁡(y)−ycos⁡(y)y \left(\sin{\left(y \right)} - \cos{\left(y \right)}\right) = y \sin{\left(y \right)} - y \cos{\left(y \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(y)=yu{\left(y \right)} = y y que dv⁡(y)=sin⁡(y)\operatorname{dv}{\left(y \right)} = \sin{\left(y \right)}.

            Entonces du⁡(y)=1\operatorname{du}{\left(y \right)} = 1.

            Para buscar v(y)v{\left(y \right)}:

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(y) dy=−cos⁡(y)\int \sin{\left(y \right)}\, dy = - \cos{\left(y \right)}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(y)) dy=−∫cos⁡(y) dy\int \left(- \cos{\left(y \right)}\right)\, dy = - \int \cos{\left(y \right)}\, dy

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(y) dy=sin⁡(y)\int \cos{\left(y \right)}\, dy = \sin{\left(y \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(y)- \sin{\left(y \right)}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−ycos⁡(y)) dy=−∫ycos⁡(y) dy\int \left(- y \cos{\left(y \right)}\right)\, dy = - \int y \cos{\left(y \right)}\, dy

            1. Usamos la integración por partes:

              ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              que u(y)=yu{\left(y \right)} = y y que dv⁡(y)=cos⁡(y)\operatorname{dv}{\left(y \right)} = \cos{\left(y \right)}.

              Entonces du⁡(y)=1\operatorname{du}{\left(y \right)} = 1.

              Para buscar v(y)v{\left(y \right)}:

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(y) dy=sin⁡(y)\int \cos{\left(y \right)}\, dy = \sin{\left(y \right)}

              Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(y) dy=−cos⁡(y)\int \sin{\left(y \right)}\, dy = - \cos{\left(y \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −ysin⁡(y)−cos⁡(y)- y \sin{\left(y \right)} - \cos{\left(y \right)}

          El resultado es: −ysin⁡(y)−ycos⁡(y)+sin⁡(y)−cos⁡(y)- y \sin{\left(y \right)} - y \cos{\left(y \right)} + \sin{\left(y \right)} - \cos{\left(y \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2ysin⁡(y)−2ycos⁡(y)+2sin⁡(y)−2cos⁡(y)- 2 y \sin{\left(y \right)} - 2 y \cos{\left(y \right)} + 2 \sin{\left(y \right)} - 2 \cos{\left(y \right)}

    Por lo tanto, el resultado es: y2sin⁡(y)2−y2cos⁡(y)2+ysin⁡(y)+ycos⁡(y)−sin⁡(y)+cos⁡(y)\frac{y^{2} \sin{\left(y \right)}}{2} - \frac{y^{2} \cos{\left(y \right)}}{2} + y \sin{\left(y \right)} + y \cos{\left(y \right)} - \sin{\left(y \right)} + \cos{\left(y \right)}

  2. Ahora simplificar:

    2(−y2cos⁡(y+π4)2+ysin⁡(y+π4)+cos⁡(y+π4))\sqrt{2} \left(- \frac{y^{2} \cos{\left(y + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + y \sin{\left(y + \frac{\pi}{4} \right)} + \cos{\left(y + \frac{\pi}{4} \right)}\right)

  3. Añadimos la constante de integración:

    2(−y2cos⁡(y+π4)2+ysin⁡(y+π4)+cos⁡(y+π4))+constant\sqrt{2} \left(- \frac{y^{2} \cos{\left(y + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + y \sin{\left(y + \frac{\pi}{4} \right)} + \cos{\left(y + \frac{\pi}{4} \right)}\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2(−y2cos⁡(y+π4)2+ysin⁡(y+π4)+cos⁡(y+π4))+constant\sqrt{2} \left(- \frac{y^{2} \cos{\left(y + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + y \sin{\left(y + \frac{\pi}{4} \right)} + \cos{\left(y + \frac{\pi}{4} \right)}\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                            
 |                                                                2           2                
 | y*y*(cos(y) + sin(y))                                         y *sin(y)   y *cos(y)         
 | --------------------- dy = C - sin(y) + y*cos(y) + y*sin(y) + --------- - --------- + cos(y)
 |           2                                                       2           2             
 |                                                                                             
/
∫yy(sin⁡(y)+cos⁡(y))2 dy=C+y2sin⁡(y)2−y2cos⁡(y)2+ysin⁡(y)+ycos⁡(y)−sin⁡(y)+cos⁡(y)\int \frac{y y \left(\sin{\left(y \right)} + \cos{\left(y \right)}\right)}{2}\, dy = C + \frac{y^{2} \sin{\left(y \right)}}{2} - \frac{y^{2} \cos{\left(y \right)}}{2} + y \sin{\left(y \right)} + y \cos{\left(y \right)} - \sin{\left(y \right)} + \cos{\left(y \right)}
Simplificar
Gráfica
0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.502
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
            2
     pi   pi 
-2 + -- + ---
     2     8
−2+π28+π2-2 + \frac{\pi^{2}}{8} + \frac{\pi}{2} 
=
= 
            2
     pi   pi 
-2 + -- + ---
     2     8
−2+π28+π2-2 + \frac{\pi^{2}}{8} + \frac{\pi}{2} 
-2 + pi/2 + pi^2/8
Respuesta numérica [src] 
0.804496876931066
0.804496876931066

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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