Integral de (arctan(2x))\pi(1+4x^2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$:

      $\int \frac{u^{2} \operatorname{atan}{\left(u \right)} + \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(u^{2} \operatorname{atan}{\left(u \right)} + \operatorname{atan}{\left(u \right)}\right)\, du = \frac{\int \left(u^{2} \operatorname{atan}{\left(u \right)} + \operatorname{atan}{\left(u \right)}\right)\, du}{2 \pi}$

         1. Integramos término a término:

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = u^{2}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2} + 1}$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u^{3}}{3 \left(u^{2} + 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{u^{3}}{u^{2} + 1}\, du}{3}$

               1. que $u = u^{2}$.

                  Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{u}{2 u + 2}\, du$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\frac{u}{2 u + 2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{2}$

                        1. que $u = u + 1$.

                           Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                           $\int \frac{1}{u}\, du$

                           1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                           Si ahora sustituir $u$ más en:

                           $\log{\left(u + 1 \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}$

                     El resultado es: $\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{u^{2}}{2} - \frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{6} - \frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{6}$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2} + 1}$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 1}\, du}{2}$

               1. que $u = u^{2} + 1$.

                  Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u^{2} + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$

            El resultado es: $\frac{u^{3} \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{3} - \frac{u^{2}}{6} + u \operatorname{atan}{\left(u \right)} - \frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\frac{u^{3} \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{3} - \frac{u^{2}}{6} + u \operatorname{atan}{\left(u \right)} - \frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{3}}{2 \pi}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\frac{8 x^{3} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{2 x^{2}}{3} + 2 x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{3}}{2 \pi}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{\pi} \left(4 x^{2} + 1\right) = \frac{4 x^{2} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} + \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{\pi}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{4 x^{2} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} + \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{\pi}\, dx = \frac{\int \left(4 x^{2} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} + \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}\right)\, dx}{\pi}$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 x^{2} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}\, dx = 4 \int x^{2} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}\, dx$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{4 x^{2} + 1}$.

               Para buscar $v{\left(x \right)}$:

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2 x^{3}}{3 \left(4 x^{2} + 1\right)}\, dx = \frac{2 \int \frac{x^{3}}{4 x^{2} + 1}\, dx}{3}$

               1. que $u = x^{2}$.

                  Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{u}{8 u + 2}\, du$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\frac{u}{8 u + 2} = \frac{1}{8} - \frac{1}{8 \left(4 u + 1\right)}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{1}{8 \left(4 u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{4 u + 1}\, du}{8}$

                        1. que $u = 4 u + 1$.

                           Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                           $\int \frac{1}{4 u}\, du$

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

                              1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                              Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

                           Si ahora sustituir $u$ más en:

                           $\frac{\log{\left(4 u + 1 \right)}}{4}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(4 u + 1 \right)}}{32}$

                     El resultado es: $\frac{u}{8} - \frac{\log{\left(4 u + 1 \right)}}{32}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{x^{2}}{8} - \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{32}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{12} - \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{48}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{3} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{x^{2}}{3} + \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{12}$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \operatorname{atan}{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \operatorname{atan}{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. Usamos la integración por partes:

                     $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                     que $u{\left(u \right)} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

                     Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2} + 1}$.

                     Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 1\, du = u$

                     Ahora resolvemos podintegral.

                  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 1}\, du}{2}$

                     1. que $u = u^{2} + 1$.

                        Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                        $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\log{\left(u^{2} + 1 \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2} - \frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4}$

            Método #2

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{4 x^{2} + 1}$.

               Para buscar $v{\left(x \right)}$:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, dx = x$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2 x}{4 x^{2} + 1}\, dx = 2 \int \frac{x}{4 x^{2} + 1}\, dx$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{x}{4 x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{8 x}{4 x^{2} + 1}\, dx}{8}$

                  1. que $u = 4 x^{2} + 1$.

                     Luego que $du = 8 x dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

                     $\int \frac{1}{8 u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{8}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4}$

         El resultado es: $\frac{4 x^{3} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{x^{2}}{3} + x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{6}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\frac{4 x^{3} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{x^{2}}{3} + x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{6}}{\pi}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{\pi} \left(4 x^{2} + 1\right) = \frac{4 x^{2} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{\pi} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{\pi}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4 x^{2} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{\pi}\, dx = \frac{4 \int x^{2} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}\, dx}{\pi}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{4 x^{2} + 1}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2 x^{3}}{3 \left(4 x^{2} + 1\right)}\, dx = \frac{2 \int \frac{x^{3}}{4 x^{2} + 1}\, dx}{3}$

            1. que $u = x^{2}$.

               Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{u}{8 u + 2}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{u}{8 u + 2} = \frac{1}{8} - \frac{1}{8 \left(4 u + 1\right)}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{1}{8 \left(4 u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{4 u + 1}\, du}{8}$

                     1. que $u = 4 u + 1$.

                        Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                        $\int \frac{1}{4 u}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

                           1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\log{\left(4 u + 1 \right)}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(4 u + 1 \right)}}{32}$

                  El resultado es: $\frac{u}{8} - \frac{\log{\left(4 u + 1 \right)}}{32}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{x^{2}}{8} - \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{32}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{12} - \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{48}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \left(\frac{x^{3} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{x^{2}}{12} + \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{48}\right)}{\pi}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{\pi}\, dx = \frac{\int \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}\, dx}{\pi}$

         1. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \operatorname{atan}{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \operatorname{atan}{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2} + 1}$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 1}\, du}{2}$

                  1. que $u = u^{2} + 1$.

                     Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(u^{2} + 1 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2} - \frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4}}{\pi}$

      El resultado es: $\frac{x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4}}{\pi} + \frac{4 \left(\frac{x^{3} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{x^{2}}{12} + \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{48}\right)}{\pi}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{8 x^{3} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - 2 x^{2} + 6 x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{6 \pi}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{8 x^{3} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - 2 x^{2} + 6 x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{6 \pi}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{8 x^{3} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - 2 x^{2} + 6 x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{6 \pi}+ \mathrm{constant}$