Integral de x^2*cos(sqrt(x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2 u^{5} \cos{\left(u \right)}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{5} \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int u^{5} \cos{\left(u \right)}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u^{5}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 5 u^{4}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = 5 u^{4}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 20 u^{3}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = - 20 u^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - 60 u^{2}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         4. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = - 60 u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - 120 u$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         5. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = 120 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 120$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         6. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 120 \sin{\left(u \right)}\, du = 120 \int \sin{\left(u \right)}\, du$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 120 \cos{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 u^{5} \sin{\left(u \right)} + 10 u^{4} \cos{\left(u \right)} - 40 u^{3} \sin{\left(u \right)} - 120 u^{2} \cos{\left(u \right)} + 240 u \sin{\left(u \right)} + 240 \cos{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 x^{\frac{5}{2}} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} - 40 x^{\frac{3}{2}} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} + 240 \sqrt{x} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} + 10 x^{2} \cos{\left(\sqrt{x} \right)} - 120 x \cos{\left(\sqrt{x} \right)} + 240 \cos{\left(\sqrt{x} \right)}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\sqrt{x} \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = \sqrt{x}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

         $\int 2 u \cos{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int u \cos{\left(u \right)}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 u \sin{\left(u \right)} + 2 \cos{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $2 \sqrt{x} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} + 2 \cos{\left(\sqrt{x} \right)}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 x \left(2 \sqrt{x} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} + 2 \cos{\left(\sqrt{x} \right)}\right)\, dx = 2 \int x \left(2 \sqrt{x} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} + 2 \cos{\left(\sqrt{x} \right)}\right)\, dx$

      1. que $u = \sqrt{x}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

         $\int \left(4 u^{4} \sin{\left(u \right)} + 4 u^{3} \cos{\left(u \right)}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 4 u^{4} \sin{\left(u \right)}\, du = 4 \int u^{4} \sin{\left(u \right)}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u^{4}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 4 u^{3}$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = - 4 u^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - 12 u^{2}$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               3. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = - 12 u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - 24 u$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               4. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = 24 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 24$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               5. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 24 \sin{\left(u \right)}\, du = 24 \int \sin{\left(u \right)}\, du$

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 24 \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 4 u^{4} \cos{\left(u \right)} + 16 u^{3} \sin{\left(u \right)} + 48 u^{2} \cos{\left(u \right)} - 96 u \sin{\left(u \right)} - 96 \cos{\left(u \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 4 u^{3} \cos{\left(u \right)}\, du = 4 \int u^{3} \cos{\left(u \right)}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 3 u^{2}$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = 3 u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6 u$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               3. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = - 6 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = -6$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 6 \sin{\left(u \right)}\right)\, du = - 6 \int \sin{\left(u \right)}\, du$

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $6 \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $4 u^{3} \sin{\left(u \right)} + 12 u^{2} \cos{\left(u \right)} - 24 u \sin{\left(u \right)} - 24 \cos{\left(u \right)}$

            El resultado es: $- 4 u^{4} \cos{\left(u \right)} + 20 u^{3} \sin{\left(u \right)} + 60 u^{2} \cos{\left(u \right)} - 120 u \sin{\left(u \right)} - 120 \cos{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $20 x^{\frac{3}{2}} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} - 120 \sqrt{x} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} - 4 x^{2} \cos{\left(\sqrt{x} \right)} + 60 x \cos{\left(\sqrt{x} \right)} - 120 \cos{\left(\sqrt{x} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $40 x^{\frac{3}{2}} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} - 240 \sqrt{x} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} - 8 x^{2} \cos{\left(\sqrt{x} \right)} + 120 x \cos{\left(\sqrt{x} \right)} - 240 \cos{\left(\sqrt{x} \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 x^{\frac{5}{2}} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} - 40 x^{\frac{3}{2}} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} + 240 \sqrt{x} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} + 10 x^{2} \cos{\left(\sqrt{x} \right)} - 120 x \cos{\left(\sqrt{x} \right)} + 240 \cos{\left(\sqrt{x} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 x^{\frac{5}{2}} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} - 40 x^{\frac{3}{2}} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} + 240 \sqrt{x} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} + 10 x^{2} \cos{\left(\sqrt{x} \right)} - 120 x \cos{\left(\sqrt{x} \right)} + 240 \cos{\left(\sqrt{x} \right)}+ \mathrm{constant}$