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Resolución de integrales/ 2*sinx/ 3/(2*sinx+6*cosx+7)

Integral de 3/(2*sinx+6*cosx+7) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                           
  /                           
 |                            
 |             3              
 |  ----------------------- dx
 |  2*sin(x) + 6*cos(x) + 7   
 |                            
/                             
0
∫013(2sin⁡(x)+6cos⁡(x))+7 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{3}{\left(2 \sin{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(x \right)}\right) + 7}\, dx 
Integral(3/(2*sin(x) + 6*cos(x) + 7), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫3(2sin⁡(x)+6cos⁡(x))+7 dx=3∫1(2sin⁡(x)+6cos⁡(x))+7 dx\int \frac{3}{\left(2 \sin{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(x \right)}\right) + 7}\, dx = 3 \int \frac{1}{\left(2 \sin{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(x \right)}\right) + 7}\, dx

    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      2atan⁡(tan⁡(x2)3+23)3+2π⌊x2−π2π⌋3\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + \frac{2}{3} \right)}}{3} + \frac{2 \pi \left\lfloor{\frac{\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}}{\pi}}\right\rfloor}{3}

    Por lo tanto, el resultado es: 2atan⁡(tan⁡(x2)3+23)+2π⌊x2−π2π⌋2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + \frac{2}{3} \right)} + 2 \pi \left\lfloor{\frac{\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}}{\pi}}\right\rfloor

  2. Ahora simplificar:

    2atan⁡(tan⁡(x2)3+23)+2π⌊x2π−12⌋2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + \frac{2}{3} \right)} + 2 \pi \left\lfloor{\frac{x}{2 \pi} - \frac{1}{2}}\right\rfloor

  3. Añadimos la constante de integración:

    2atan⁡(tan⁡(x2)3+23)+2π⌊x2π−12⌋+constant2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + \frac{2}{3} \right)} + 2 \pi \left\lfloor{\frac{x}{2 \pi} - \frac{1}{2}}\right\rfloor+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2atan⁡(tan⁡(x2)3+23)+2π⌊x2π−12⌋+constant2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + \frac{2}{3} \right)} + 2 \pi \left\lfloor{\frac{x}{2 \pi} - \frac{1}{2}}\right\rfloor+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                       /       /x\\             /x   pi\
 |                                        |    tan|-||             |- - --|
 |            3                           |2      \2/|             |2   2 |
 | ----------------------- dx = C + 2*atan|- + ------| + 2*pi*floor|------|
 | 2*sin(x) + 6*cos(x) + 7                \3     3   /             \  pi  /
 |                                                                         
/
∫3(2sin⁡(x)+6cos⁡(x))+7 dx=C+2atan⁡(tan⁡(x2)3+23)+2π⌊x2−π2π⌋\int \frac{3}{\left(2 \sin{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(x \right)}\right) + 7}\, dx = C + 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + \frac{2}{3} \right)} + 2 \pi \left\lfloor{\frac{\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}}{\pi}}\right\rfloor
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-10
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                     /2   tan(1/2)\
-2*atan(2/3) + 2*atan|- + --------|
                     \3      3    /
−2atan⁡(23)+2atan⁡(tan⁡(12)3+23)- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} \right)} + 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\tan{\left(\frac{1}{2} \right)}}{3} + \frac{2}{3} \right)} 
=
= 
                     /2   tan(1/2)\
-2*atan(2/3) + 2*atan|- + --------|
                     \3      3    /
−2atan⁡(23)+2atan⁡(tan⁡(12)3+23)- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} \right)} + 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\tan{\left(\frac{1}{2} \right)}}{3} + \frac{2}{3} \right)} 
-2*atan(2/3) + 2*atan(2/3 + tan(1/2)/3)
Respuesta numérica [src] 
0.231550987291366
0.231550987291366

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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