Integral de (-x-x^2-x^3)*exp(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \left(u^{3} - u^{2} + u\right) e^{- u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(u^{3} - u^{2} + u\right) e^{- u}\, du = - \int \left(u^{3} - u^{2} + u\right) e^{- u}\, du$

         1. que $u = - u$.

            Luego que $du = - du$ y ponemos $du$:

            $\int \left(u^{3} e^{u} + u^{2} e^{u} + u e^{u}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 3 u^{2}$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = 3 u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6 u$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               3. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = 6 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 6 e^{u}\, du = 6 \int e^{u}\, du$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $6 e^{u}$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = 2 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               El resultado es: $u^{3} e^{u} - 2 u^{2} e^{u} + 5 u e^{u} - 5 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- u^{3} e^{- u} - 2 u^{2} e^{- u} - 5 u e^{- u} - 5 e^{- u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $u^{3} e^{- u} + 2 u^{2} e^{- u} + 5 u e^{- u} + 5 e^{- u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- x^{3} e^{x} + 2 x^{2} e^{x} - 5 x e^{x} + 5 e^{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(- x^{3} + \left(- x^{2} - x\right)\right) e^{x} = - x^{3} e^{x} - x^{2} e^{x} - x e^{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{3} e^{x}\right)\, dx = - \int x^{3} e^{x}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = 3 x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 6 x$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = 6 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 6$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 e^{x}\, dx = 6 \int e^{x}\, dx$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

            Por lo tanto, el resultado es: $6 e^{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 6 x e^{x} + 6 e^{x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{2} e^{x}\right)\, dx = - \int x^{2} e^{x}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = 2 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 e^{x}\, dx = 2 \int e^{x}\, dx$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x e^{x}\right)\, dx = - \int x e^{x}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- x e^{x} + e^{x}$

      El resultado es: $- x^{3} e^{x} + 2 x^{2} e^{x} - 5 x e^{x} + 5 e^{x}$

   Método #3

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = x \left(- x^{2} - x - 1\right)$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - x^{2} + x \left(- 2 x - 1\right) - x - 1$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = - 3 x^{2} - 2 x - 1$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 6 x - 2$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   3. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = - 6 x - 2$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = -6$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 6 e^{x}\right)\, dx = - 6 \int e^{x}\, dx$

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 6 e^{x}$

2. Ahora simplificar:

   $\left(- x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 5\right) e^{x}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\left(- x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 5\right) e^{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(- x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 5\right) e^{x}+ \mathrm{constant}$