Integral de (1-cos(x))/sin(x)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

      2. Integramos término a término:

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx$

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

               Pero la integral

               $- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

         El resultado es: $\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx$

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

      El resultado es: $- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{1}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{1}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{1}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$