Sr Examen

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Resolución de integrales/ 4*x+3/ (4*x+3)/sqrt(4*x-3)

Integral de (4*x+3)/sqrt(4*x-3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |    4*x + 3     
 |  ----------- dx
 |    _________   
 |  \/ 4*x - 3    
 |                
/                 
0
∫014x+34x−3 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{4 x + 3}{\sqrt{4 x - 3}}\, dx 
Integral((4*x + 3)/sqrt(4*x - 3), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=4xu = 4 x.

      Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

      ∫u+34u−3 du\int \frac{u + 3}{4 \sqrt{u - 3}}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u+3u−3 du=∫u+3u−3 du4\int \frac{u + 3}{\sqrt{u - 3}}\, du = \frac{\int \frac{u + 3}{\sqrt{u - 3}}\, du}{4}

        1. que u=1u−3u = \frac{1}{\sqrt{u - 3}}.

          Luego que du=−du2(u−3)32du = - \frac{du}{2 \left(u - 3\right)^{\frac{3}{2}}} y ponemos dudu:

          ∫(18−2(3+1u2)2) du\int \left(18 - 2 \left(3 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫18 du=18u\int 18\, du = 18 u

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−2(3+1u2)2) du=−2∫(3+1u2)2 du\int \left(- 2 \left(3 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2}\right)\, du = - 2 \int \left(3 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2}\, du

              1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                Método #1

                1. Vuelva a escribir el integrando:

                  (3+1u2)2=9+6u2+1u4\left(3 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2} = 9 + \frac{6}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}

                2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    ∫9 du=9u\int 9\, du = 9 u

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫6u2 du=6∫1u2 du\int \frac{6}{u^{2}}\, du = 6 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

                    1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                      ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

                    Por lo tanto, el resultado es: −6u- \frac{6}{u}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

                  El resultado es: 9u−6u−13u39 u - \frac{6}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}

                Método #2

                1. Vuelva a escribir el integrando:

                  (3+1u2)2=9u4+6u2+1u4\left(3 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2} = \frac{9 u^{4} + 6 u^{2} + 1}{u^{4}}

                2. Vuelva a escribir el integrando:

                  9u4+6u2+1u4=9+6u2+1u4\frac{9 u^{4} + 6 u^{2} + 1}{u^{4}} = 9 + \frac{6}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}

                3. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    ∫9 du=9u\int 9\, du = 9 u

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫6u2 du=6∫1u2 du\int \frac{6}{u^{2}}\, du = 6 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

                    1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                      ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

                    Por lo tanto, el resultado es: −6u- \frac{6}{u}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

                  El resultado es: 9u−6u−13u39 u - \frac{6}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}

              Por lo tanto, el resultado es: −18u+12u+23u3- 18 u + \frac{12}{u} + \frac{2}{3 u^{3}}

            El resultado es: 12u+23u3\frac{12}{u} + \frac{2}{3 u^{3}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2(u−3)323+12u−3\frac{2 \left(u - 3\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + 12 \sqrt{u - 3}

        Por lo tanto, el resultado es: (u−3)326+3u−3\frac{\left(u - 3\right)^{\frac{3}{2}}}{6} + 3 \sqrt{u - 3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      (4x−3)326+34x−3\frac{\left(4 x - 3\right)^{\frac{3}{2}}}{6} + 3 \sqrt{4 x - 3}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      4x+34x−3=4x4x−3+34x−3\frac{4 x + 3}{\sqrt{4 x - 3}} = \frac{4 x}{\sqrt{4 x - 3}} + \frac{3}{\sqrt{4 x - 3}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4x4x−3 dx=4∫x4x−3 dx\int \frac{4 x}{\sqrt{4 x - 3}}\, dx = 4 \int \frac{x}{\sqrt{4 x - 3}}\, dx

        1. que u=14x−3u = \frac{1}{\sqrt{4 x - 3}}.

          Luego que du=−2dx(4x−3)32du = - \frac{2 dx}{\left(4 x - 3\right)^{\frac{3}{2}}} y ponemos dudu:

          ∫(−2(34+14u2)2+98+38u2) du\int \left(- 2 \left(\frac{3}{4} + \frac{1}{4 u^{2}}\right)^{2} + \frac{9}{8} + \frac{3}{8 u^{2}}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−2(34+14u2)2) du=−2∫(34+14u2)2 du\int \left(- 2 \left(\frac{3}{4} + \frac{1}{4 u^{2}}\right)^{2}\right)\, du = - 2 \int \left(\frac{3}{4} + \frac{1}{4 u^{2}}\right)^{2}\, du

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                (34+14u2)2=916+38u2+116u4\left(\frac{3}{4} + \frac{1}{4 u^{2}}\right)^{2} = \frac{9}{16} + \frac{3}{8 u^{2}} + \frac{1}{16 u^{4}}

              2. Integramos término a término:

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  ∫916 du=9u16\int \frac{9}{16}\, du = \frac{9 u}{16}

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫38u2 du=3∫1u2 du8\int \frac{3}{8 u^{2}}\, du = \frac{3 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{8}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: −38u- \frac{3}{8 u}

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫116u4 du=∫1u4 du16\int \frac{1}{16 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{4}}\, du}{16}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

                  Por lo tanto, el resultado es: −148u3- \frac{1}{48 u^{3}}

                El resultado es: 9u16−38u−148u3\frac{9 u}{16} - \frac{3}{8 u} - \frac{1}{48 u^{3}}

              Por lo tanto, el resultado es: −9u8+34u+124u3- \frac{9 u}{8} + \frac{3}{4 u} + \frac{1}{24 u^{3}}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫98 du=9u8\int \frac{9}{8}\, du = \frac{9 u}{8}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫38u2 du=3∫1u2 du8\int \frac{3}{8 u^{2}}\, du = \frac{3 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{8}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −38u- \frac{3}{8 u}

            El resultado es: 38u+124u3\frac{3}{8 u} + \frac{1}{24 u^{3}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          (4x−3)3224+34x−38\frac{\left(4 x - 3\right)^{\frac{3}{2}}}{24} + \frac{3 \sqrt{4 x - 3}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: (4x−3)326+34x−32\frac{\left(4 x - 3\right)^{\frac{3}{2}}}{6} + \frac{3 \sqrt{4 x - 3}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫34x−3 dx=3∫14x−3 dx\int \frac{3}{\sqrt{4 x - 3}}\, dx = 3 \int \frac{1}{\sqrt{4 x - 3}}\, dx

        1. que u=4x−3u = 4 x - 3.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫14u du\int \frac{1}{4 \sqrt{u}}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du4\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{4}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

            Por lo tanto, el resultado es: u2\frac{\sqrt{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          4x−32\frac{\sqrt{4 x - 3}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 34x−32\frac{3 \sqrt{4 x - 3}}{2}

      El resultado es: (4x−3)326+34x−3\frac{\left(4 x - 3\right)^{\frac{3}{2}}}{6} + 3 \sqrt{4 x - 3}

  2. Ahora simplificar:

    4x−3(4x+15)6\frac{\sqrt{4 x - 3} \left(4 x + 15\right)}{6}

  3. Añadimos la constante de integración:

    4x−3(4x+15)6+constant\frac{\sqrt{4 x - 3} \left(4 x + 15\right)}{6}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

4x−3(4x+15)6+constant\frac{\sqrt{4 x - 3} \left(4 x + 15\right)}{6}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                   
 |                                                 3/2
 |   4*x + 3                __________   (-3 + 4*x)   
 | ----------- dx = C + 3*\/ -3 + 4*x  + -------------
 |   _________                                 6      
 | \/ 4*x - 3                                         
 |                                                    
/
∫4x+34x−3 dx=C+(4x−3)326+34x−3\int \frac{4 x + 3}{\sqrt{4 x - 3}}\, dx = C + \frac{\left(4 x - 3\right)^{\frac{3}{2}}}{6} + 3 \sqrt{4 x - 3}
Simplificar
Gráfica
1.0000.7500.7750.8000.8250.8500.8750.9000.9250.9500.9750500
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
           ___
19   5*I*\/ 3 
-- - ---------
6        2
196−53i2\frac{19}{6} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} 
=
= 
           ___
19   5*I*\/ 3 
-- - ---------
6        2
196−53i2\frac{19}{6} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} 
19/6 - 5*i*sqrt(3)/2
Respuesta numérica [src] 
(4.01352081495069 - 3.91759823416988j)
(4.01352081495069 - 3.91759823416988j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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