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Resolución de integrales/ (y-1)/ sqrt(y)/ (y-1)/(sqrt(y)+1)

Integral de (y-1)/(sqrt(y)+1) dy

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1             
  /             
 |              
 |    y - 1     
 |  --------- dy
 |    ___       
 |  \/ y  + 1   
 |              
/               
0
∫01y−1y+1 dy\int\limits_{0}^{1} \frac{y - 1}{\sqrt{y} + 1}\, dy 
Integral((y - 1)/(sqrt(y) + 1), (y, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=yu = \sqrt{y}.

      Luego que du=dy2ydu = \frac{dy}{2 \sqrt{y}} y ponemos dudu:

      ∫(2u2−2u) du\int \left(2 u^{2} - 2 u\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2u2 du=2∫u2 du\int 2 u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: 2u33\frac{2 u^{3}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2u) du=−2∫u du\int \left(- 2 u\right)\, du = - 2 \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −u2- u^{2}

        El resultado es: 2u33−u2\frac{2 u^{3}}{3} - u^{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2y323−y\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - y

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      y−1y+1=yy+1−1y+1\frac{y - 1}{\sqrt{y} + 1} = \frac{y}{\sqrt{y} + 1} - \frac{1}{\sqrt{y} + 1}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=yu = \sqrt{y}.

        Luego que du=dy2ydu = \frac{dy}{2 \sqrt{y}} y ponemos 2du2 du:

        ∫2u3u+1 du\int \frac{2 u^{3}}{u + 1}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u3u+1 du=2∫u3u+1 du\int \frac{u^{3}}{u + 1}\, du = 2 \int \frac{u^{3}}{u + 1}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u3u+1=u2−u+1−1u+1\frac{u^{3}}{u + 1} = u^{2} - u + 1 - \frac{1}{u + 1}

          2. Integramos término a término:

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u) du=−∫u du\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−1u+1) du=−∫1u+1 du\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du

              1. que u=u+1u = u + 1.

                Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u+1)- \log{\left(u + 1 \right)}

            El resultado es: u33−u22+u−log⁡(u+1)\frac{u^{3}}{3} - \frac{u^{2}}{2} + u - \log{\left(u + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2u33−u2+2u−2log⁡(u+1)\frac{2 u^{3}}{3} - u^{2} + 2 u - 2 \log{\left(u + 1 \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2y323+2y−y−2log⁡(y+1)\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \sqrt{y} - y - 2 \log{\left(\sqrt{y} + 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1y+1) dy=−∫1y+1 dy\int \left(- \frac{1}{\sqrt{y} + 1}\right)\, dy = - \int \frac{1}{\sqrt{y} + 1}\, dy

        1. que u=yu = \sqrt{y}.

          Luego que du=dy2ydu = \frac{dy}{2 \sqrt{y}} y ponemos 2du2 du:

          ∫2uu+1 du\int \frac{2 u}{u + 1}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫uu+1 du=2∫uu+1 du\int \frac{u}{u + 1}\, du = 2 \int \frac{u}{u + 1}\, du

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              uu+1=1−1u+1\frac{u}{u + 1} = 1 - \frac{1}{u + 1}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫1 du=u\int 1\, du = u

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−1u+1) du=−∫1u+1 du\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du

                1. que u=u+1u = u + 1.

                  Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                  ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                  1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  log⁡(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u+1)- \log{\left(u + 1 \right)}

              El resultado es: u−log⁡(u+1)u - \log{\left(u + 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 2u−2log⁡(u+1)2 u - 2 \log{\left(u + 1 \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2y−2log⁡(y+1)2 \sqrt{y} - 2 \log{\left(\sqrt{y} + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2y+2log⁡(y+1)- 2 \sqrt{y} + 2 \log{\left(\sqrt{y} + 1 \right)}

      El resultado es: 2y323−y\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - y

  2. Añadimos la constante de integración:

    2y323−y+constant\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - y+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2y323−y+constant\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - y+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                             
 |                           3/2
 |   y - 1                2*y   
 | --------- dy = C - y + ------
 |   ___                    3   
 | \/ y  + 1                    
 |                              
/
∫y−1y+1 dy=C+2y323−y\int \frac{y - 1}{\sqrt{y} + 1}\, dy = C + \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - y
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-1/3
−13- \frac{1}{3} 
=
= 
-1/3
−13- \frac{1}{3} 
-1/3
Respuesta numérica [src] 
-0.333333333333333
-0.333333333333333

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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