Integral de (2^(1/3)cosx)/(sinx+1/2)^(1/3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{\sin{\left(x \right)} + \frac{1}{2}}$.

      Luego que $du = \frac{\cos{\left(x \right)} dx}{3 \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right)^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $3 \sqrt[3]{2} du$:

      $\int 3 \sqrt[3]{2} u\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = 3 \sqrt[3]{2} \int u\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sqrt[3]{2} u^{2}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 \sqrt[3]{2} \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right)^{\frac{2}{3}}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt[3]{\sin{\left(x \right)} + \frac{1}{2}}} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt[3]{2 \sin{\left(x \right)} + 1}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt[3]{2 \sin{\left(x \right)} + 1}}\, dx = 2^{\frac{2}{3}} \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sqrt[3]{2 \sin{\left(x \right)} + 1}}\, dx$

      1. que $u = 2 \sin{\left(x \right)} + 1$.

         Luego que $du = 2 \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 \sqrt[3]{u}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du = \frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3 \left(2 \sin{\left(x \right)} + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \left(2 \sin{\left(x \right)} + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 \left(4 \sin{\left(x \right)} + 2\right)^{\frac{2}{3}}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 \left(4 \sin{\left(x \right)} + 2\right)^{\frac{2}{3}}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 \left(4 \sin{\left(x \right)} + 2\right)^{\frac{2}{3}}}{4}+ \mathrm{constant}$