Integral de x*exp(-exp(-x)) dx

Solución

Ha introducido [src]

  1           
  /           
 |            
 |       -x   
 |     -e     
 |  x*e     dx
 |            
/             
0

$$\int\limits_{0}^{1} x e^{- e^{- x}}\, dx$$

Integral(x*exp(-exp(-x)), (x, 0, 1))

Solución detallada

Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- e^{- x}}$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
1. que $u = e^{x}$ .
  
  Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$ :
  
  $\int \frac{e^{- \frac{1}{u}}}{u}\, du$
  1. que $u = \frac{1}{u}$ .
    
    Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$ :
    
    $\int \left(- \frac{e^{- u}}{u}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{e^{- u}}{u}\, du = - \int \frac{e^{- u}}{u}\, du$
      Por lo tanto, el resultado es: $- \operatorname{Ei}{\left(- u \right)}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \operatorname{Ei}{\left(- \frac{1}{u} \right)}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- \operatorname{Ei}{\left(- e^{- x} \right)}$
Ahora resolvemos podintegral.
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

$\int \left(- \operatorname{Ei}{\left(- e^{- x} \right)}\right)\, dx = - \int \operatorname{Ei}{\left(- e^{- x} \right)}\, dx$
1. que $u = e^{x}$ .
  
  Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$ :
  
  $\int \frac{\operatorname{Ei}{\left(- \frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$
  1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
    
    Pero la integral
    
    $\begin{cases} - \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2} - \gamma \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 2 i \pi \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - i \pi \log{\left(u \right)} + \frac{{{}_{3}F_{3}\left(\begin{matrix} 1, 1, 1 \\ 2, 2, 2 \end{matrix}\middle| {- \frac{1}{u}} \right)}}{u} & \text{for}\: \left|{u}\right| < 1 \\- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2} - \gamma \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - i \pi \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + \frac{{{}_{3}F_{3}\left(\begin{matrix} 1, 1, 1 \\ 2, 2, 2 \end{matrix}\middle| {- \frac{1}{u}} \right)}}{u} & \text{for}\: \frac{1}{\left|{u}\right|} < 1 \\i \pi {G_{2, 2}^{2, 0}\left(\begin{matrix} & 1, 1 \\0, 0 & \end{matrix} \middle| {u} \right)} - i \pi {G_{2, 2}^{0, 2}\left(\begin{matrix} 1, 1 & \\ & 0, 0 \end{matrix} \middle| {u} \right)} - \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2} - \gamma \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 2 i \pi \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + \frac{{{}_{3}F_{3}\left(\begin{matrix} 1, 1, 1 \\ 2, 2, 2 \end{matrix}\middle| {- \frac{1}{u}} \right)}}{u} & \text{otherwese} \end{cases}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $\begin{cases} - \frac{\log{\left(e^{- x} \right)}^{2}}{2} - \gamma \log{\left(e^{- x} \right)} - 2 i \pi \log{\left(e^{- x} \right)} - i \pi \log{\left(e^{x} \right)} + e^{- x} {{}_{3}F_{3}\left(\begin{matrix} 1, 1, 1 \\ 2, 2, 2 \end{matrix}\middle| {- e^{- x}} \right)} & \text{for}\: e^{\operatorname{re}{\left(x\right)}} < 1 \\- \frac{\log{\left(e^{- x} \right)}^{2}}{2} - \gamma \log{\left(e^{- x} \right)} - i \pi \log{\left(e^{- x} \right)} + e^{- x} {{}_{3}F_{3}\left(\begin{matrix} 1, 1, 1 \\ 2, 2, 2 \end{matrix}\middle| {- e^{- x}} \right)} & \text{for}\: e^{- \operatorname{re}{\left(x\right)}} < 1 \\i \pi {G_{2, 2}^{2, 0}\left(\begin{matrix} & 1, 1 \\0, 0 & \end{matrix} \middle| {e^{x}} \right)} - i \pi {G_{2, 2}^{0, 2}\left(\begin{matrix} 1, 1 & \\ & 0, 0 \end{matrix} \middle| {e^{x}} \right)} - \frac{\log{\left(e^{- x} \right)}^{2}}{2} - \gamma \log{\left(e^{- x} \right)} - 2 i \pi \log{\left(e^{- x} \right)} + e^{- x} {{}_{3}F_{3}\left(\begin{matrix} 1, 1, 1 \\ 2, 2, 2 \end{matrix}\middle| {- e^{- x}} \right)} & \text{otherwese} \end{cases}$
Por lo tanto, el resultado es: $- \begin{cases} - \frac{\log{\left(e^{- x} \right)}^{2}}{2} - \gamma \log{\left(e^{- x} \right)} - 2 i \pi \log{\left(e^{- x} \right)} - i \pi \log{\left(e^{x} \right)} + e^{- x} {{}_{3}F_{3}\left(\begin{matrix} 1, 1, 1 \\ 2, 2, 2 \end{matrix}\middle| {- e^{- x}} \right)} & \text{for}\: e^{\operatorname{re}{\left(x\right)}} < 1 \\- \frac{\log{\left(e^{- x} \right)}^{2}}{2} - \gamma \log{\left(e^{- x} \right)} - i \pi \log{\left(e^{- x} \right)} + e^{- x} {{}_{3}F_{3}\left(\begin{matrix} 1, 1, 1 \\ 2, 2, 2 \end{matrix}\middle| {- e^{- x}} \right)} & \text{for}\: e^{- \operatorname{re}{\left(x\right)}} < 1 \\i \pi {G_{2, 2}^{2, 0}\left(\begin{matrix} & 1, 1 \\0, 0 & \end{matrix} \middle| {e^{x}} \right)} - i \pi {G_{2, 2}^{0, 2}\left(\begin{matrix} 1, 1 & \\ & 0, 0 \end{matrix} \middle| {e^{x}} \right)} - \frac{\log{\left(e^{- x} \right)}^{2}}{2} - \gamma \log{\left(e^{- x} \right)} - 2 i \pi \log{\left(e^{- x} \right)} + e^{- x} {{}_{3}F_{3}\left(\begin{matrix} 1, 1, 1 \\ 2, 2, 2 \end{matrix}\middle| {- e^{- x}} \right)} & \text{otherwese} \end{cases}$
Ahora simplificar:

$\begin{cases} - x \operatorname{Ei}{\left(- e^{- x} \right)} - \frac{\log{\left(e^{- x} \right)}^{2}}{2} - \gamma \log{\left(e^{- x} \right)} - 2 i \pi \log{\left(e^{- x} \right)} - i \pi \log{\left(e^{x} \right)} + e^{- x} {{}_{3}F_{3}\left(\begin{matrix} 1, 1, 1 \\ 2, 2, 2 \end{matrix}\middle| {- e^{- x}} \right)} & \text{for}\: e^{\operatorname{re}{\left(x\right)}} < 1 \\- x \operatorname{Ei}{\left(- e^{- x} \right)} - \frac{\log{\left(e^{- x} \right)}^{2}}{2} - \gamma \log{\left(e^{- x} \right)} - i \pi \log{\left(e^{- x} \right)} + e^{- x} {{}_{3}F_{3}\left(\begin{matrix} 1, 1, 1 \\ 2, 2, 2 \end{matrix}\middle| {- e^{- x}} \right)} & \text{for}\: e^{- \operatorname{re}{\left(x\right)}} < 1 \\- x \operatorname{Ei}{\left(- e^{- x} \right)} - i \pi \left(\begin{cases} 0 & \text{for}\: e^{\operatorname{re}{\left(x\right)}} < 1 \\- \log{\left(e^{- x} \right)} & \text{for}\: e^{- \operatorname{re}{\left(x\right)}} < 1 \\{G_{2, 2}^{0, 2}\left(\begin{matrix} 1, 1 & \\ & 0, 0 \end{matrix} \middle| {e^{x}} \right)} & \text{otherwese} \end{cases}\right) + i \pi \left(\begin{cases} - \log{\left(e^{x} \right)} & \text{for}\: e^{\operatorname{re}{\left(x\right)}} < 1 \\0 & \text{for}\: e^{- \operatorname{re}{\left(x\right)}} < 1 \\{G_{2, 2}^{2, 0}\left(\begin{matrix} & 1, 1 \\0, 0 & \end{matrix} \middle| {e^{x}} \right)} & \text{otherwese} \end{cases}\right) - \frac{\log{\left(e^{- x} \right)}^{2}}{2} - \gamma \log{\left(e^{- x} \right)} - 2 i \pi \log{\left(e^{- x} \right)} + e^{- x} {{}_{3}F_{3}\left(\begin{matrix} 1, 1, 1 \\ 2, 2, 2 \end{matrix}\middle| {- e^{- x}} \right)} & \text{otherwese} \end{cases}$
Añadimos la constante de integración:

$\begin{cases} - x \operatorname{Ei}{\left(- e^{- x} \right)} - \frac{\log{\left(e^{- x} \right)}^{2}}{2} - \gamma \log{\left(e^{- x} \right)} - 2 i \pi \log{\left(e^{- x} \right)} - i \pi \log{\left(e^{x} \right)} + e^{- x} {{}_{3}F_{3}\left(\begin{matrix} 1, 1, 1 \\ 2, 2, 2 \end{matrix}\middle| {- e^{- x}} \right)} & \text{for}\: e^{\operatorname{re}{\left(x\right)}} < 1 \\- x \operatorname{Ei}{\left(- e^{- x} \right)} - \frac{\log{\left(e^{- x} \right)}^{2}}{2} - \gamma \log{\left(e^{- x} \right)} - i \pi \log{\left(e^{- x} \right)} + e^{- x} {{}_{3}F_{3}\left(\begin{matrix} 1, 1, 1 \\ 2, 2, 2 \end{matrix}\middle| {- e^{- x}} \right)} & \text{for}\: e^{- \operatorname{re}{\left(x\right)}} < 1 \\- x \operatorname{Ei}{\left(- e^{- x} \right)} - i \pi \left(\begin{cases} 0 & \text{for}\: e^{\operatorname{re}{\left(x\right)}} < 1 \\- \log{\left(e^{- x} \right)} & \text{for}\: e^{- \operatorname{re}{\left(x\right)}} < 1 \\{G_{2, 2}^{0, 2}\left(\begin{matrix} 1, 1 & \\ & 0, 0 \end{matrix} \middle| {e^{x}} \right)} & \text{otherwese} \end{cases}\right) + i \pi \left(\begin{cases} - \log{\left(e^{x} \right)} & \text{for}\: e^{\operatorname{re}{\left(x\right)}} < 1 \\0 & \text{for}\: e^{- \operatorname{re}{\left(x\right)}} < 1 \\{G_{2, 2}^{2, 0}\left(\begin{matrix} & 1, 1 \\0, 0 & \end{matrix} \middle| {e^{x}} \right)} & \text{otherwese} \end{cases}\right) - \frac{\log{\left(e^{- x} \right)}^{2}}{2} - \gamma \log{\left(e^{- x} \right)} - 2 i \pi \log{\left(e^{- x} \right)} + e^{- x} {{}_{3}F_{3}\left(\begin{matrix} 1, 1, 1 \\ 2, 2, 2 \end{matrix}\middle| {- e^{- x}} \right)} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} - x \operatorname{Ei}{\left(- e^{- x} \right)} - \frac{\log{\left(e^{- x} \right)}^{2}}{2} - \gamma \log{\left(e^{- x} \right)} - 2 i \pi \log{\left(e^{- x} \right)} - i \pi \log{\left(e^{x} \right)} + e^{- x} {{}_{3}F_{3}\left(\begin{matrix} 1, 1, 1 \\ 2, 2, 2 \end{matrix}\middle| {- e^{- x}} \right)} & \text{for}\: e^{\operatorname{re}{\left(x\right)}} < 1 \\- x \operatorname{Ei}{\left(- e^{- x} \right)} - \frac{\log{\left(e^{- x} \right)}^{2}}{2} - \gamma \log{\left(e^{- x} \right)} - i \pi \log{\left(e^{- x} \right)} + e^{- x} {{}_{3}F_{3}\left(\begin{matrix} 1, 1, 1 \\ 2, 2, 2 \end{matrix}\middle| {- e^{- x}} \right)} & \text{for}\: e^{- \operatorname{re}{\left(x\right)}} < 1 \\- x \operatorname{Ei}{\left(- e^{- x} \right)} - i \pi \left(\begin{cases} 0 & \text{for}\: e^{\operatorname{re}{\left(x\right)}} < 1 \\- \log{\left(e^{- x} \right)} & \text{for}\: e^{- \operatorname{re}{\left(x\right)}} < 1 \\{G_{2, 2}^{0, 2}\left(\begin{matrix} 1, 1 & \\ & 0, 0 \end{matrix} \middle| {e^{x}} \right)} & \text{otherwese} \end{cases}\right) + i \pi \left(\begin{cases} - \log{\left(e^{x} \right)} & \text{for}\: e^{\operatorname{re}{\left(x\right)}} < 1 \\0 & \text{for}\: e^{- \operatorname{re}{\left(x\right)}} < 1 \\{G_{2, 2}^{2, 0}\left(\begin{matrix} & 1, 1 \\0, 0 & \end{matrix} \middle| {e^{x}} \right)} & \text{otherwese} \end{cases}\right) - \frac{\log{\left(e^{- x} \right)}^{2}}{2} - \gamma \log{\left(e^{- x} \right)} - 2 i \pi \log{\left(e^{- x} \right)} + e^{- x} {{}_{3}F_{3}\left(\begin{matrix} 1, 1, 1 \\ 2, 2, 2 \end{matrix}\middle| {- e^{- x}} \right)} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

                                 //                              2/ -x\         _                                                                                                                    \
                                 ||                           log \e  /    -x  |_  /1, 1, 1 |   -x\                 / -x\           / x\             / -x\                                 re(x)     |
                                 ||                         - --------- + e  * |   |        | -e  | - EulerGamma*log\e  / - pi*I*log\e / - 2*pi*I*log\e  /                            for e      < 1 |
  /                              ||                               2           3  3 \2, 2, 2 |     /                                                                                                  |
 |                               ||                                                                                                                                                                  |
 |      -x                       ||                                       2/ -x\         _                                                                                                           |
 |    -e                /  -x\   ||                                    log \e  /    -x  |_  /1, 1, 1 |   -x\                 / -x\           / -x\                                         -re(x)    |
 | x*e     dx = C - x*Ei\-e  / + |<                                  - --------- + e  * |   |        | -e  | - EulerGamma*log\e  / - pi*I*log\e  /                                    for e       < 1|
 |                               ||                                        2           3  3 \2, 2, 2 |     /                                                                                         |
/                                ||                                                                                                                                                                  |
                                 ||     2/ -x\         _                                                                                                                                             |
                                 ||  log \e  /    -x  |_  /1, 1, 1 |   -x\                 / -x\         __2, 0 /      1, 1 |  x\         __0, 2 /1, 1       |  x\             / -x\                 |
                                 ||- --------- + e  * |   |        | -e  | - EulerGamma*log\e  / + pi*I*/__     |           | e | - pi*I*/__     |           | e | - 2*pi*I*log\e  /     otherwise   |
                                 ||      2           3  3 \2, 2, 2 |     /                              \_|2, 2 \0, 0       |   /        \_|2, 2 \      0, 0 |   /                                   |
                                 \\                                                                                                                                                                  /

$$\int x e^{- e^{- x}}\, dx = C - x \operatorname{Ei}{\left(- e^{- x} \right)} + \begin{cases} - \frac{\log{\left(e^{- x} \right)}^{2}}{2} - \gamma \log{\left(e^{- x} \right)} - 2 i \pi \log{\left(e^{- x} \right)} - i \pi \log{\left(e^{x} \right)} + e^{- x} {{}_{3}F_{3}\left(\begin{matrix} 1, 1, 1 \\ 2, 2, 2 \end{matrix}\middle| {- e^{- x}} \right)} & \text{for}\: e^{\operatorname{re}{\left(x\right)}} < 1 \\- \frac{\log{\left(e^{- x} \right)}^{2}}{2} - \gamma \log{\left(e^{- x} \right)} - i \pi \log{\left(e^{- x} \right)} + e^{- x} {{}_{3}F_{3}\left(\begin{matrix} 1, 1, 1 \\ 2, 2, 2 \end{matrix}\middle| {- e^{- x}} \right)} & \text{for}\: e^{- \operatorname{re}{\left(x\right)}} < 1 \\i \pi {G_{2, 2}^{2, 0}\left(\begin{matrix} & 1, 1 \\0, 0 & \end{matrix} \middle| {e^{x}} \right)} - i \pi {G_{2, 2}^{0, 2}\left(\begin{matrix} 1, 1 & \\ & 0, 0 \end{matrix} \middle| {e^{x}} \right)} - \frac{\log{\left(e^{- x} \right)}^{2}}{2} - \gamma \log{\left(e^{- x} \right)} - 2 i \pi \log{\left(e^{- x} \right)} + e^{- x} {{}_{3}F_{3}\left(\begin{matrix} 1, 1, 1 \\ 2, 2, 2 \end{matrix}\middle| {- e^{- x}} \right)} & \text{otherwise} \end{cases}$$

Simplificar

Respuesta [src]

                   _                                _                               
  1     /  -1\    |_  /1, 1, 1 |   \           -1  |_  /1, 1, 1 |   -1\             
- - - Ei\-e  / -  |   |        | -1| + pi*I + e  * |   |        | -e  | + EulerGamma
  2              3  3 \2, 2, 2 |   /              3  3 \2, 2, 2 |     /

$$- {{}_{3}F_{3}\left(\begin{matrix} 1, 1, 1 \\ 2, 2, 2 \end{matrix}\middle| {-1} \right)} + \frac{{{}_{3}F_{3}\left(\begin{matrix} 1, 1, 1 \\ 2, 2, 2 \end{matrix}\middle| {- \frac{1}{e}} \right)}}{e} - \frac{1}{2} + \gamma - \operatorname{Ei}{\left(- \frac{1}{e} \right)} + i \pi$$

                   _                                _                               
  1     /  -1\    |_  /1, 1, 1 |   \           -1  |_  /1, 1, 1 |   -1\             
- - - Ei\-e  / -  |   |        | -1| + pi*I + e  * |   |        | -e  | + EulerGamma
  2              3  3 \2, 2, 2 |   /              3  3 \2, 2, 2 |     /

-1/2 - Ei(-exp(-1)) - hyper((1, 1, 1), (2, 2, 2), -1) + pi*i + exp(-1)*hyper((1, 1, 1), (2, 2, 2), -exp(-1)) + EulerGamma

Respuesta numérica [src]

0.297257634014673

0.297257634014673

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de x*exp(-exp(-x)) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución