Integral de (3x+x^3)/sqrt^3(x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{x^{3} + 3 x}{\left(\sqrt{x}\right)^{3}} = \frac{x^{2} + 3}{\sqrt{x}}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{6 u^{4} + 2}{u^{6}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{6 u^{4} + 2}{u^{6}}\, du = - \int \frac{6 u^{4} + 2}{u^{6}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{6 u^{4} + 2}{u^{6}} = \frac{6}{u^{2}} + \frac{2}{u^{6}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{6}{u^{2}}\, du = 6 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6}{u}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2}{u^{6}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{6}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{5 u^{5}}$

            El resultado es: $- \frac{6}{u} - \frac{2}{5 u^{5}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6}{u} + \frac{2}{5 u^{5}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 6 \sqrt{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2} + 3}{\sqrt{x}} = x^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3}{\sqrt{x}}\, dx = 3 \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $6 \sqrt{x}$

      El resultado es: $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 6 \sqrt{x}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \sqrt{x} \left(x^{2} + 15\right)}{5}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \sqrt{x} \left(x^{2} + 15\right)}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \sqrt{x} \left(x^{2} + 15\right)}{5}+ \mathrm{constant}$