Sr Examen

Otras calculadoras

Resolución de integrales/ cos^2/ sin^4/ sin^4(2x)-cos^2(2x)

Integral de sin^4(2x)-cos^2(2x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                           
 --                           
 2                            
  /                           
 |                            
 |  /   4           2     \   
 |  \sin (2*x) - cos (2*x)/ dx
 |                            
/                             
pi
∫ππ2(sin⁡4(2x)−cos⁡2(2x)) dx\int\limits_{\pi}^{\frac{\pi}{2}} \left(\sin^{4}{\left(2 x \right)} - \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right)\, dx 
Integral(sin(2*x)^4 - cos(2*x)^2, (x, pi, pi/2))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡4(2x)=(12−cos⁡(4x)2)2\sin^{4}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)^{2}

    2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (12−cos⁡(4x)2)2=cos⁡2(4x)4−cos⁡(4x)2+14\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡2(4x)4 dx=∫cos⁡2(4x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos⁡2(4x)=cos⁡(8x)2+12\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(8x)2 dx=∫cos⁡(8x) dx2\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}

              1. que u=8xu = 8 x.

                Luego que du=8dxdu = 8 dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

                ∫cos⁡(u)8 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du8\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)8\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡(8x)8\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(8x)16\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

            El resultado es: x2+sin⁡(8x)16\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

          Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(8x)64\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(4x)2) dx=−∫cos⁡(4x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(4x)8- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

        El resultado es: 3x8−sin⁡(4x)8+sin⁡(8x)64\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (12−cos⁡(4x)2)2=cos⁡2(4x)4−cos⁡(4x)2+14\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡2(4x)4 dx=∫cos⁡2(4x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos⁡2(4x)=cos⁡(8x)2+12\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(8x)2 dx=∫cos⁡(8x) dx2\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}

              1. que u=8xu = 8 x.

                Luego que du=8dxdu = 8 dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

                ∫cos⁡(u)8 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du8\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)8\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡(8x)8\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(8x)16\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

            El resultado es: x2+sin⁡(8x)16\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

          Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(8x)64\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(4x)2) dx=−∫cos⁡(4x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(4x)8- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

        El resultado es: 3x8−sin⁡(4x)8+sin⁡(8x)64\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−cos⁡2(2x)) dx=−∫cos⁡2(2x) dx\int \left(- \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

      Por lo tanto, el resultado es: −x2−sin⁡(4x)8- \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

    El resultado es: −x8−sin⁡(4x)4+sin⁡(8x)64- \frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −x8−sin⁡(4x)4+sin⁡(8x)64+constant- \frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−x8−sin⁡(4x)4+sin⁡(8x)64+constant- \frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                        
 |                                                         
 | /   4           2     \          sin(4*x)   x   sin(8*x)
 | \sin (2*x) - cos (2*x)/ dx = C - -------- - - + --------
 |                                     4       8      64   
/
∫(sin⁡4(2x)−cos⁡2(2x)) dx=C−x8−sin⁡(4x)4+sin⁡(8x)64\int \left(\sin^{4}{\left(2 x \right)} - \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right)\, dx = C - \frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}
Simplificar
Gráfica
1.61.71.81.92.02.12.22.32.42.52.62.72.82.93.03.12-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
pi
--
16
π16\frac{\pi}{16} 
=
= 
pi
--
16
π16\frac{\pi}{16} 
pi/16
Respuesta numérica [src] 
0.196349540849362
0.196349540849362

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

    © Sr Examen – Калькулятор