Integral de sqr(9-x^2-y^2) dy

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(- y^{2} + \left(9 - x^{2}\right)\right)^{2} = x^{4} - 18 x^{2} + y^{4} + y^{2} \left(2 x^{2} - 18\right) + 81$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int x^{4}\, dy = x^{4} y$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(- 18 x^{2}\right)\, dy = - 18 x^{2} y$

      1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int y^{4}\, dy = \frac{y^{5}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int y^{2} \left(2 x^{2} - 18\right)\, dy = \left(2 x^{2} - 18\right) \int y^{2}\, dy$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{y^{3} \left(2 x^{2} - 18\right)}{3}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 81\, dy = 81 y$

      El resultado es: $x^{4} y - 18 x^{2} y + \frac{y^{5}}{5} + \frac{y^{3} \left(2 x^{2} - 18\right)}{3} + 81 y$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(- y^{2} + \left(9 - x^{2}\right)\right)^{2} = x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 18 x^{2} + y^{4} - 18 y^{2} + 81$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int x^{4}\, dy = x^{4} y$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{2} y^{2}\, dy = 2 x^{2} \int y^{2}\, dy$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{2} y^{3}}{3}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(- 18 x^{2}\right)\, dy = - 18 x^{2} y$

      1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int y^{4}\, dy = \frac{y^{5}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 18 y^{2}\right)\, dy = - 18 \int y^{2}\, dy$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 6 y^{3}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 81\, dy = 81 y$

      El resultado es: $x^{4} y + \frac{2 x^{2} y^{3}}{3} - 18 x^{2} y + \frac{y^{5}}{5} - 6 y^{3} + 81 y$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{y \left(15 x^{4} - 270 x^{2} + 3 y^{4} + 10 y^{2} \left(x^{2} - 9\right) + 1215\right)}{15}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{y \left(15 x^{4} - 270 x^{2} + 3 y^{4} + 10 y^{2} \left(x^{2} - 9\right) + 1215\right)}{15}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{y \left(15 x^{4} - 270 x^{2} + 3 y^{4} + 10 y^{2} \left(x^{2} - 9\right) + 1215\right)}{15}+ \mathrm{constant}$