Integral de sqrt(x+2)-sqrt(x) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \sqrt{x}\right)\, dx = - \int \sqrt{x}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

   1. que $u = x + 2$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

      $\int \sqrt{u}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

   El resultado es: $- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$