Integral de 1/3*x*ln(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u e^{2 u}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u e^{2 u}\, du = \frac{\int u e^{2 u}\, du}{3}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = 2 u$.

               Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{2 u}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$

            1. que $u = 2 u$.

               Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{2 u}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u e^{2 u}}{6} - \frac{e^{2 u}}{12}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{6} - \frac{x^{2}}{12}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{x}{3}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x}{3}\, dx = \frac{\int x\, dx}{3}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{6}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x}{6}\, dx = \frac{\int x\, dx}{6}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{12}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{12}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{12}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{12}+ \mathrm{constant}$